方企勤 第六章 多元函数积分学 第4题

解(1)对单连通区域,只要 $\left( {\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y = 0$ ,即 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$ , 则线积分 $\displaystyle{\int }_{AB}P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y}$ 就与路径无关. 现在

$$ P = \frac{x}{{r}^{3}},\;Q = \frac{y}{{r}^{3}},\;r = \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}, $$

$$ \frac{\partial Q}{\partial x} = - \frac{3xy}{{r}^{5}} = \frac{\partial P}{\partial y}, $$

所以线积分在 $G$ 上与路径无关.

(2)此时 $G$ 非单连通区域,由 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$ 得不出线积分与路径无关. 但由

$$ \frac{x\mathrm{\;d}x + y\mathrm{\;d}y}{{r}^{3}} = \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}\left( {{x}^{2} + {y}^{2}}\right) }{{r}^{3}} = \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}{r}^{2}}{{r}^{3}} $$

$$ = \frac{\mathrm{d}r}{{r}^{2}} = \mathrm{d}\left( {-\frac{1}{r}}\right) , $$

即可看出在 $G$ 上存在原函数

$$ u = - \frac{1}{\sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}},\;\mathrm{\;d}u = \frac{x\mathrm{\;d}x + y\mathrm{\;d}y}{{r}^{3}}, $$

所以线积分在 $G$ 上与路径无关.

(3) 因

$$ {\int }_{{x}^{2} + {y}^{2} = 1}\frac{x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x}{{x}^{2} + {y}^{2}} = {\iint }_{{x}^{2} + {y}^{2} \leq 1}2\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y = {2\pi }, $$

所以线积分与路径有关.

评注 (3) 中被积表达式虽有原函数 $u = \arctan \frac{y}{x}$ 存在,用极坐标表示原函数,即为 $u = \theta$ ,它在 $G$ 上是一无穷多值的函数,而定理要求 $G$ 上存在连续单值原函数时,线积分才与路径无关,所以原函数 $u = \theta$ 不符合定理要求. 如果考虑上半平面区域,这时可以取出连续单值原函数 $u = \theta \left( {0 < \theta < \pi }\right)$ ,所以线积分在上半平面上与路径无关.