方企勤 第七章 典型综合题分析 第14题

教材习题

📝 题目

例 14 设 $f\left( x\right) \in C\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ ,且 $\displaystyle{\int }_{0}^{1}f\left( x\right) \mathrm{d}x = 0,{\int }_{0}^{1}{xf}\left( x\right) \mathrm{d}x = 1$ . 求证:

$$ \mathop{\max }\limits_{{0 \leq x \leq 1}}\left| {f\left( x\right) }\right| > 4 $$

💡 答案解析

证 用反证法. 如果 $\left| {f\left( x\right) }\right| \leq 4$ ,那么

$$ 1 = \left| {{\int }_{0}^{1}\left( {x - \frac{1}{2}}\right) f\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq {\int }_{0}^{1}\left| {x - \frac{1}{2}}\right| \left| {f\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x $$

$$ \leq 4{\int }_{0}^{1}\left| {x - \frac{1}{2}}\right| \mathrm{d}x = 1, $$

由此推出 $\displaystyle{\int }_{0}^{1}\left| {x - \frac{1}{2}}\right| \left| {f\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x = 1$ ,从而

$$ {\int }_{0}^{1}\left( {4 - \left| {f\left( x\right) }\right| }\right) \left| {x - \frac{1}{2}}\right| \mathrm{d}x = 0, $$

即得 $\left| {f\left( x\right) }\right| \equiv 4$ . 又 $f\left( x\right)$ 连续,可见 $f\left( x\right) \equiv 4$ 或 $f\left( x\right) \equiv - 4$ . 这些都与 $\displaystyle{\int }_{0}^{1}f\left( x\right) \mathrm{d}x = 0$ 矛盾.

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：假设结论不成立，即 max|f(x)| ≤ 4
用反证法。假设对于所有 x∈[0,1]，有 |f(x)| ≤ 4。
提示：反证法常用于证明不等式，先假设反面成立。
步骤 2/5
目标：利用已知积分条件构造不等式
由已知 ∫₀¹ f(x)dx=0 和 ∫₀¹ xf(x)dx=1，可得 ∫₀¹ (x-1/2)f(x)dx = ∫₀¹ xf(x)dx - (1/2)∫₀¹ f(x)dx = 1 - 0 = 1。取绝对值：1 = |∫₀¹ (x-1/2)f(x)dx| ≤ ∫₀¹ |x-1/2||f(x)|dx。
公式：∫₀¹ (x-1/2)f(x)dx = 1
提示：注意利用线性性质将已知条件结合。
步骤 3/5
目标：利用假设放大积分
由假设 |f(x)| ≤ 4，得 ∫₀¹ |x-1/2||f(x)|dx ≤ 4∫₀¹ |x-1/2|dx。计算 ∫₀¹ |x-1/2|dx = 1/4，所以右边等于 1。因此有 1 ≤ 1，等号成立。
公式：∫₀¹ |x-1/2|dx = 1/4
提示：计算绝对值积分时，分段积分。
步骤 4/5
目标：推出等号成立的条件
由 1 = ∫₀¹ |x-1/2||f(x)|dx 和 4∫₀¹ |x-1/2|dx = 1，可得 ∫₀¹ (4 - |f(x)|)|x-1/2|dx = 0。由于被积函数非负，故 (4 - |f(x)|)|x-1/2| = 0 几乎处处成立。又 f 连续，所以 |f(x)| ≡ 4。
公式：∫₀¹ (4 - |f(x)|)|x-1/2|dx = 0
提示：非负连续函数的积分为零推出函数恒为零。
步骤 5/5
目标：导出矛盾
由 |f(x)| ≡ 4 及 f 连续，得 f(x) ≡ 4 或 f(x) ≡ -4。但 ∫₀¹ f(x)dx = 0，若 f≡4，则积分为 4；若 f≡-4，则积分为 -4，均与 0 矛盾。因此假设不成立，故 max|f(x)| > 4。
提示：注意常数函数的积分值。

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