方企勤 第七章 典型综合题分析 第31题
📝 题目
例 31 利用级数收敛性证明无穷积分 $\displaystyle{\int }_{0}^{+\infty }{\left( -1\right) }^{\left\lbrack {x}^{2}\right\rbrack }$ 收敛,其中 $\left\lbrack {x}^{2}\right\rbrack$ 表示不超过 ${x}^{2}$ 的最大整数.
💡 答案解析
证 因为当 $\sqrt{n} \leq x < \sqrt{n + 1}$ 时, $\left\lbrack {x}^{2}\right\rbrack = n\left( {n = 0,1,2,\cdots }\right)$ ,所以
$$ {\int }_{0}^{+\infty }{\left( -1\right) }^{\left\lbrack {x}^{2}\right\rbrack } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{\int }_{\sqrt{n}}^{\sqrt{n + 1}}{\left( -1\right) }^{\left\lbrack {x}^{2}\right\rbrack }\mathrm{d}x $$
$$ = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}\left( {\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}\right) . $$
于是由于上式右端的无穷级数收敛, 得知左端的无穷积分收敛.
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将无穷积分转化为级数形式
注意到当 x 在区间 [√n, √(n+1)) 时，[x²] = n，因此被积函数 (-1)^[x²] = (-1)^n。将积分区间 [0, +∞) 按这些区间分割，得到积分等于级数 ∑_{n=0}^∞ ∫_{√n}^{√(n+1)} (-1)^n dx。
公式：∫_0^{+∞} (-1)^[x²] dx = ∑_{n=0}^∞ (-1)^n (√(n+1) - √n)
提示：注意区间端点：当 x=√(n+1) 时，[x²]=n+1，但积分区间是左闭右开，不影响积分值。
步骤 2/3
目标：证明级数收敛
计算级数的通项：a_n = (-1)^n (√(n+1) - √n)。由于 √(n+1) - √n = 1/(√(n+1)+√n) 单调递减趋于0，根据莱布尼茨判别法，交错级数 ∑ (-1)^n (√(n+1)-√n) 收敛。
公式：√(n+1) - √n = 1/(√(n+1)+√n)
提示：莱布尼茨判别法要求通项绝对值单调递减且趋于0，这里显然满足。
步骤 3/3
目标：由级数收敛推出无穷积分收敛
由于无穷积分等于该收敛级数，因此无穷积分收敛。
提示：注意：无穷积分收敛的定义是极限存在，这里通过级数求和得到有限值。
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