方企勤 第一章 分析基础 第1.1题
📝 题目
1. 1.1 设 $\displaystyle{\max \{ \left| {a + b}\right| ,\left| {a - b}\right| \} < \frac{1}{2}}$ ,求证: $\left| a\right| < \frac{1}{2},\left| b\right| < \frac{1}{2}$ .
💡 答案解析
1. 1.1 将 $a$ 改写成 $\frac{1}{2}\left( {a + b + a - b}\right)$ ; 将 $b$ 改写成 $\frac{1}{2}\left( {b + a + b - a}\right)$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将a表示为(a+b)和(a-b)的组合
注意到 a = (1/2)[(a+b) + (a-b)]，因此 |a| ≤ (1/2)(|a+b| + |a-b|)。
公式：a = (1/2)[(a+b) + (a-b)]
提示：利用绝对值不等式放缩
步骤 2/4
目标：利用已知条件放缩|a|
由已知 max{|a+b|, |a-b|} < 1/2，得 |a+b| < 1/2 且 |a-b| < 1/2，所以 |a| ≤ (1/2)(1/2 + 1/2) = 1/2。由于不等式严格，故 |a| < 1/2。
公式：|a| ≤ (1/2)(|a+b| + |a-b|) < (1/2)(1/2 + 1/2) = 1/2
提示：注意严格不等号
步骤 3/4
目标：将b表示为(b+a)和(b-a)的组合
类似地，b = (1/2)[(b+a) + (b-a)]，而 b+a = a+b，b-a = -(a-b)，所以 |b| ≤ (1/2)(|a+b| + |a-b|)。
公式：b = (1/2)[(a+b) - (a-b)]
提示：注意符号不影响绝对值
步骤 4/4
目标：利用已知条件放缩|b|
同样由 |a+b| < 1/2 和 |a-b| < 1/2，得 |b| ≤ (1/2)(1/2 + 1/2) = 1/2，严格不等式得 |b| < 1/2。
公式：|b| ≤ (1/2)(|a+b| + |a-b|) < 1/2
提示：与a的证明对称
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