方企勤 第一章 分析基础 第1.2题
📝 题目
1. 2.1 设 $f\left( x\right) = \left| {1 + x}\right| - \left| {1 - x}\right|$ . (1) 求证: $f\left( x\right)$ 是奇函数; (2) 求证: $\left| {f\left( x\right) }\right| \leq 2$ ; (3) 求 $\left( \underset{n\text{ 次 }}{\underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}}\right) \left( x\right)$ .
💡 答案解析
1. 2.1 (3) $f\left( {{2}^{n - 1}x}\right)$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明f(x)是奇函数
计算f(-x) = |1 - x| - |1 + x| = -(|1 + x| - |1 - x|) = -f(x)，因此f(x)是奇函数。
公式：f(-x) = -f(x)
提示：注意绝对值性质：|a| = |-a|。
步骤 2/3
目标：证明|f(x)| ≤ 2
由绝对值不等式，|f(x)| = ||1+x| - |1-x|| ≤ |(1+x) - (1-x)| = |2x|，但更直接：|1+x| ≤ 1+|x|，|1-x| ≤ 1+|x|，故|f(x)| ≤ |1+x| + |1-x| ≤ 2(1+|x|)，但需精确：实际上|f(x)| ≤ 2，因为当x≥0时，f(x)=2x，当x<0时，f(x)=-2x，所以|f(x)|=2|x|，但|x|≤1时成立，当|x|>1时，f(x)=2，故|f(x)|≤2。
公式：|f(x)| = 2|x| 当|x|≤1，|f(x)|=2 当|x|>1
提示：分段讨论x的范围。
步骤 3/3
目标：求n次复合函数
先求f(f(x))。由f(x)表达式：当|x|≤1时，f(x)=2x，则f(f(x))=f(2x)=4x；当|x|>1时，f(x)=2，则f(f(x))=f(2)=2（因为2>1）。归纳得：f^n(x) = f(2^{n-1}x) 当|2^{n-1}x|≤1时，否则为2。但题目答案给出f(2^{n-1}x)，注意f(2^{n-1}x)本身是分段函数，即f(2^{n-1}x) = 2^n x 当|2^{n-1}x|≤1，否则为2。
公式：f^n(x) = f(2^{n-1}x)
提示：利用f(x)的线性性质在|x|≤1时。
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