方企勤 第一章 分析基础 第1.2题
📝 题目
1.2.5 求证: 若 $y = f\left( x\right) \left( {x \in \left( {-\infty , + \infty }\right) }\right)$ 是奇函数,并且它的图像关于直线 $x = b\left( {b > 0}\right)$ 对称,则函数 $f\left( x\right)$ 是周期函数并求其周期.
💡 答案解析
1.2.5 因为 $f\left( {b - x}\right) = f\left( {b + x}\right)$ ,令 $x = b - t$ 得
$$ f\left( {t - {2b}}\right) = - f\left( t\right) = - f\left( {t + {2b} - {2b}}\right) = f\left( {t + {2b}}\right) , $$
所以周期为 ${4b}$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用奇函数和对称性推导关系式
由图像关于直线 x=b 对称，得 f(b-x)=f(b+x)。令 x=b-t，代入得 f(t)=f(2b-t)。
公式：f(b-x)=f(b+x)
提示：对称性条件转化为函数方程
步骤 2/3
目标：结合奇函数性质得到递推关系
由奇函数 f(-t)=-f(t)，将 f(2b-t) 中的自变量视为 - (t-2b)，得 f(2b-t)=f(-(t-2b))=-f(t-2b)。因此 f(t)=-f(t-2b)。
公式：f(2b-t)=-f(t-2b)
提示：注意奇函数的应用
步骤 3/3
目标：推导周期性
由 f(t)=-f(t-2b)，将 t 替换为 t+2b，得 f(t+2b)=-f(t)。再将 t 替换为 t+2b，得 f(t+4b)=-f(t+2b)=f(t)。因此周期为 4b。
公式：f(t+4b)=f(t)
提示：连续两次应用递推关系
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