方企勤 第一章 分析基础 第1.3题
📝 题目
1.3.9 求证: 如下序列的极限存在:
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\left\lbrack \frac{\left( {2n}\right) !!}{\left( {{2n} - 1}\right) !!}\right\rbrack }^{2}\frac{1}{{2n} + 1} $$
💡 答案解析
1.3.9 $\frac{{x}_{n + 1}}{{x}_{n}} = \frac{{\left( 2n + 2\right) }^{2}}{\left( {{2n} + 1}\right) \left( {{2n} + 3}\right) }$
$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{x}_{n + 1}}{{x}_
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义序列并写出通项公式
设 x_n = [ (2n)!! / (2n-1)!! ]^2 * 1/(2n+1)，其中 (2n)!! = 2*4*...*(2n)，(2n-1)!! = 1*3*...*(2n-1)。
公式：x_n = \left( \frac{(2n)!!}{(2n-1)!!} \right)^2 \frac{1}{2n+1}
提示：注意双阶乘的定义，偶数阶乘和奇数阶乘不同。
步骤 2/5
目标：计算相邻两项的比值 x_{n+1}/x_n
计算 x_{n+1} = [ (2n+2)!! / (2n+1)!! ]^2 * 1/(2n+3)，然后求比值：x_{n+1}/x_n = [ (2n+2)!! / (2n+1)!! ]^2 * 1/(2n+3) * [ (2n-1)!! / (2n)!! ]^2 * (2n+1)。化简双阶乘： (2n+2)!! = (2n)!! * (2n+2)，(2n+1)!! = (2n-1)!! * (2n+1)。代入得 x_{n+1}/x_n = [ (2n+2)/(2n+1) ]^2 * (2n+1)/(2n+3) = (2n+2)^2 / [(2n+1)(2n+3)]。
公式：\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{(2n+2)^2}{(2n+1)(2n+3)}
提示：注意双阶乘的递推关系： (2n+2)!! = (2n)!! * (2n+2)，(2n+1)!! = (2n-1)!! * (2n+1)。
步骤 3/5
目标：证明比值小于1，从而序列单调递减
比较 (2n+2)^2 与 (2n+1)(2n+3) 的大小： (2n+2)^2 = 4n^2+8n+4， (2n+1)(2n+3) = 4n^2+8n+3，所以 (2n+2)^2 > (2n+1)(2n+3)，因此 x_{n+1}/x_n > 1，即 x_{n+1} > x_n，序列单调递增。
公式：(2n+2)^2 - (2n+1)(2n+3) = 1 > 0
提示：注意：这里比值大于1，所以序列是递增的，不是递减。
步骤 4/5
目标：证明序列有上界
利用不等式： (2n)!!/(2n-1)!! < √(π(2n+1)/2) 或直接使用 Wallis 公式的推论。另一种方法：考虑 x_n = [ (2n)!!/(2n-1)!! ]^2 * 1/(2n+1) < 1，因为 (2n)!!/(2n-1)!! < √(2n+1)（可通过数学归纳法证明）。实际上，由 Wallis 公式知极限为 π/2，所以序列有上界。
公式：x_n < 1 \quad \text{或} \quad \lim_{n\to\infty} x_n = \frac{\pi}{2}
提示：Wallis 公式： \frac{\pi}{2} = \prod_{n=1}^\infty \frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}。
步骤 5/5
目标：由单调有界定理得出极限存在
序列 {x_n} 单调递增且有上界，因此极限存在。
提示：单调有界定理是实数完备性的重要结论。
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