方企勤 第二章 一元函数微分学 第2.1题
📝 题目
2. 1.1 用定义求 ${f}^{\prime }\left( 0\right)$ ,这里 $f\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} {x}^{2}\sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x =
💡 答案解析
**题目**：用定义求 $f'(0)$，其中 $$ f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0. \end{cases} $$
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### 第一步：回忆导数的定义 函数在 $x=0$ 处的导数定义为极限： $$ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}. $$
已知 $f(0) = 0$，所以 $$ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h}. $$
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### 第二步：代入函数表达式 当 $h \neq 0$ 时，有 $f(h) = h^2 \sin \frac{1}{h}$，因此 $$ \frac{f(h)}{h} = \frac{h^2 \sin \frac{1}{h}}{h} = h \sin \frac{1}{h}. $$
于是问题转化为求极限： $$ f'(0) = \lim_{h \to 0} h \sin \frac{1}{h}. $$
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### 第三步：利用夹逼定理求极限 我们知道对于任意实数 $t$，有 $|\sin t| \le 1$，因此 $$ \left| h \sin \frac{1}{h} \right| \le |h|. $$
当 $h \to 0$ 时，$|h| \to 0$，由夹逼定理可得： $$ \lim_{h \to 0} h \sin \frac{1}{h} = 0. $$
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### 第四步：得出结论 因此， $$ f'(0) = 0. $$
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**最终答案**： $$ \boxed{0} $$
**关键说明**：本题的关键在于正确使用导数的极限定义，并利用有界函数乘以无穷小仍为无穷小的性质（或夹逼定理）处理 $h \sin(1/h)$ 在 $h\to 0$ 时的极限。注意，这里虽然 $\sin(1/h)$ 振荡剧烈，但乘以趋于零的 $h$ 后整体趋于零。