方企勤 第二章 一元函数微分学 第2.1题
📝 题目
2. 1.8 已知曳物线的参数方程为
$$ x = a\left\lbrack {\ln \left( {\tan \frac{t}{2}}\right) + \cos t}\right\rbrack ,\;y = a\sin t\;\left( {a > 0,0 < t < \pi }\right) . $$
求证: 在曳物线的任一切线上,自切点至该切线与 $x$ 轴交点之间的切线段为一定长.
💡 答案解析
2. 1.8 ${y}_{x}^{\prime } = \tan t$ ,切线段的长度 $= \frac{\sqrt{1 + {y}_{x}^{\prime }}}{\left| {y}_{x}^{\prime }\right| }\left| y\right| = a$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求导数 y'_x
由参数方程 x = a[ln(tan(t/2)) + cos t], y = a sin t，分别对 t 求导：dx/dt = a[(1/(tan(t/2))) * sec²(t/2) * (1/2) - sin t] = a[csc t - sin t] = a cos² t / sin t；dy/dt = a cos t。因此 y'_x = (dy/dt)/(dx/dt) = (a cos t) / (a cos² t / sin t) = tan t。
公式：y'_x = tan t
提示：注意化简 dx/dt 时用到三角恒等式。
步骤 2/3
目标：写出切线方程并求与 x 轴交点
切点 (x0, y0) 对应参数 t，切线斜率 k = tan t。切线方程：y - y0 = tan t (x - x0)。令 y=0，得 x = x0 - y0 / tan t = x0 - y0 cot t。
公式：x = x0 - y0 cot t
步骤 3/3
目标：计算切线段长度
切线段长度 d = sqrt((x - x0)^2 + (0 - y0)^2) = sqrt(( - y0 cot t)^2 + y0^2) = |y0| sqrt(cot² t + 1) = |y0| |csc t|。由于 y0 = a sin t，且 00，故 |y0| = a sin t，|csc t| = 1/sin t，所以 d = a sin t * (1/sin t) = a。
公式：d = a
提示：注意绝对值处理。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。