方企勤 第二章 一元函数微分学 第2.3题
📝 题目
2.3.6 (1) 设 $f\left( x\right) ,g\left( x\right)$ 在(a, b)内可导,且 $f\left( x\right) \neq g\left( x\right) ,g\left( x\right) \neq 0$ . 求证: $\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }$ 在(a, b)内无极值的充分必要条件是 $\frac{f\left( x\right) + g\left( x\right) }{f\left( x\right) - g\left( x\right) }$ 在(a, b)内无极值.
(2)设 $b > a > 0$ ,求证: $f\left( x\right) = \frac{\left( {x - a}\right) \left( {x + b}\right) }{\left( {x - b}\right) \left( {x + a}\right) }$ 无极值.
💡 答案解析
2.3.6 (1) $\frac{f\left( x\right) + g\left( x\right) }{f\left( x\right) - g\left( x\right) }\overset{\text{ 写成 }}{ = }\frac{\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) } + 1}{\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) } - 1}$ .
(2)用第 (1) 小题结论.
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明(1)中两个函数无极值等价
设 h(x) = f(x)/g(x)，则 (f(x)+g(x))/(f(x)-g(x)) = (h(x)+1)/(h(x)-1)。由于 h(x) ≠ 1 且 g(x) ≠ 0，该变换有效。
公式：\frac{f(x)+g(x)}{f(x)-g(x)} = \frac{h(x)+1}{h(x)-1}
提示：注意分母不为零的条件
步骤 2/4
目标：分析h(x)与变换后函数极值的关系
考虑函数 φ(t) = (t+1)/(t-1)，其导数 φ'(t) = -2/(t-1)^2 < 0，故 φ 严格单调递减。因此 h(x) 与 φ(h(x)) 具有相同的极值点（极值存在性等价）。
公式：\varphi'(t) = -\frac{2}{(t-1)^2} < 0
提示：单调函数保持极值点
步骤 3/4
目标：得出结论(1)
由于 φ 严格单调，h(x) 无极值当且仅当 φ(h(x)) 无极值，即原命题成立。
步骤 4/4
目标：证明(2)中函数无极值
令 f(x) = (x-a)(x+b)，g(x) = (x-b)(x+a)，则原函数为 f(x)/g(x)。由(1)结论，只需证 (f(x)+g(x))/(f(x)-g(x)) 无极值。计算得 f(x)+g(x) = 2(x^2 - ab)，f(x)-g(x) = 2x(b-a)，故 (f(x)+g(x))/(f(x)-g(x)) = (x^2 - ab)/(x(b-a))。该函数在定义域内单调（导数恒正或恒负），无极值。
公式：\frac{f(x)+g(x)}{f(x)-g(x)} = \frac{x^2 - ab}{x(b-a)}
提示：利用(1)的结论简化问题
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