方企勤 第二章 一元函数微分学 第2.3题

不等式要求对所有 x>0 成立，即 ln x 被夹在两个函数之间。我们需要找到最小的正数 A 和最大的负数 B，使得 A√x 和 B/√x 分别是 ln x 的上界和下界。这等价于求函数 f(x)=ln x / √x 的最大值和最小值（注意符号）。

令 g(x)=ln x / √x，x>0。求导得 g'(x) = (1/x * √x - ln x * 1/(2√x)) / x = (2 - ln x) / (2x√x)。令 g'(x)=0 得 ln x=2，即 x=e^2。当 00，g 递增；x>e^2 时 g'(x)<0，g 递减。所以 g(x) 在 x=e^2 处取得最大值 g(e^2)=2/e。又当 x→0+ 时 ln x→-∞，√x→0，但 ln x 趋于负无穷更快，故 g(x)→-∞；x→+∞ 时 ln x 增长慢于 √x，故 g(x)→0。因此 g(x) 的值域为 (-∞, 2/e]。

由不等式 ln x ≤ A√x 得 A ≥ ln x / √x = g(x) 对所有 x>0 成立，故 A 必须不小于 g(x) 的最大值，即 A ≥ 2/e。最小正数 A 为 2/e。由不等式 B/√x ≤ ln x 得 B ≤ √x ln x = h(x)。注意 B 为负数，我们需要 h(x) 的最小值（因为 B 要小于等于所有 h(x)）。令 h(x)=√x ln x，求导得 h'(x)= (ln x)/(2√x) + √x/x = (ln x + 2)/(2√x)。令 h'(x)=0 得 ln x = -2，即 x=e^{-2}。当 0e^{-2} 时 h'(x)>0，h 递增。所以 h(x) 在 x=e^{-2} 处取得最小值 h(e^{-2}) = e^{-1} * (-2) = -2/e。又当 x→0+ 时 √x→0，ln x→-∞，乘积趋于 0（负方向？实际 √x ln x → 0^-），x→+∞ 时 √x ln x → +∞。故 h(x) 的值域为 [-2/e, +∞)。因此 B 必须小于等于 h(x) 的最小值，即 B ≤ -2/e。最大负数 B 为 -2/e。

当 A=2/e 时，不等式 ln x ≤ (2/e)√x 成立，等号在 x=e^2 处取得。当 B=-2/e 时，不等式 -2/(e√x) ≤ ln x 成立，等号在 x=e^{-2} 处取得。因此最小正数 A=2/e，最大负数 B=-2/e。