方企勤 第三章 一元函数积分学 第3.1题

教材习题

📝 题目

3.1.6 求下列不定积分:

(1) $\displaystyle{\int \frac{1 + x + {x}^{2}}{\sqrt{1 + {x}^{2}}}{\mathrm{e}}^{x}\mathrm{\;d}x}$ ; (2) $\displaystyle{\int \frac{1 + \tan x}{\cos x}{\mathrm{e}}^{x}\mathrm{\;d}x}$ ；

(3) $\displaystyle \int \left( {\cos x - \sin x}\right) {\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{\;d}x$ ; (4) $\displaystyle \int x\left( {2 - x}\right) {\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{\;d}x$ .

💡 答案解析

3. 1.1 (1) $x - {\mathrm{e}}^{x} + \frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{2x} + C$ ; (2) $- \arctan x - \frac{1}{x} + C$ ;

(3) $\frac{4}{7}{x}^{\frac{7}{4}} + C$ ; (4) $2\arcsin x + C$ ;

(5) $\tan x - x + C$ ;

(6) $\frac{1}{2\cos {2x} + 2}\left( {4\sin {2x} - {2x} - {2x}\cos {2x}}\right) + C$ ;

(7) $- 4\frac{\sin {4x}}{2 - 2\cos {4x}} + C$ ; (8) $- 8\frac{\sin {2x}}{2 - 2\cos {4x}} + C$ ；

(9) $\frac{1}{6}\sqrt{6}\arctan \frac{1}{2}x\sqrt{6} + C$ ;

(10) $\frac{1}{12}\sqrt{6}\ln \left( {x + \frac{1}{3}\sqrt{6}}\right) - \frac{1}{12}\sqrt{6}\ln \left( {x - \frac{1}{3}\sqrt{6}}\right) + C$ ;

(11) $\sqrt[3]{1 - {3x}}\left( {\frac{3}{4}x - \frac{1}{4}}\right) + C$ ;

(12) $\sqrt[3]{1 - {3x}}\left( {\frac{3}{7}{x}^{2} - \frac{1}{28}x - \frac{1}{28}}\right) + C$ .

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：将积分拆分为三个部分
将原积分拆分为三个积分：∫(1/√(1+x^2))e^x dx + ∫(x/√(1+x^2))e^x dx + ∫(x^2/√(1+x^2))e^x dx
公式：∫(f+g)dx = ∫f dx + ∫g dx
提示：拆分后每个积分可能更容易处理
步骤 2/5
目标：处理第一个积分 ∫(1/√(1+x^2))e^x dx
注意到 d/dx (e^x arctan x) = e^x arctan x + e^x/(1+x^2)，但这里分母是√(1+x^2)，不是1+x^2。实际上，这个积分没有初等原函数，但可以通过分部积分与其他项组合。观察整体，考虑分部积分。
提示：尝试将 e^x 与某个函数的导数结合
步骤 3/5
目标：考虑分部积分：令 u = e^x, dv = (1+x+x^2)/√(1+x^2) dx
但更巧妙的方法：注意到 (1+x+x^2)/√(1+x^2) = √(1+x^2) + x/√(1+x^2)。因为 (1+x^2)/√(1+x^2) = √(1+x^2)，加上 x/√(1+x^2)。所以原积分 = ∫√(1+x^2) e^x dx + ∫(x/√(1+x^2)) e^x dx。
公式：1+x+x^2 = (1+x^2) + x
提示：将分子改写为 (1+x^2)+x
步骤 4/5
目标：计算 ∫(x/√(1+x^2)) e^x dx
注意到 d/dx (√(1+x^2)) = x/√(1+x^2)，所以 ∫(x/√(1+x^2)) e^x dx = ∫ e^x d(√(1+x^2)) = e^x √(1+x^2) - ∫ √(1+x^2) e^x dx。
公式：分部积分：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：令 u = e^x, dv = x/√(1+x^2) dx
步骤 5/5
目标：将结果代入原积分
原积分 = ∫√(1+x^2) e^x dx + [e^x √(1+x^2) - ∫√(1+x^2) e^x dx] = e^x √(1+x^2) + C。
提示：两项抵消，得到简洁结果

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