方企勤 第三章 一元函数积分学 第3.3题
📝 题目
3.3.5 设 $f\left( 2\right) = \frac{1}{2},{f}^{\prime }\left( 2\right) = 0,{\int }_{0}^{2}f\left( x\right) \mathrm{d}x = 1$ ,求 $\displaystyle{\int }_{0}^{1}{x}^{2}{f}^{\prime \prime }\left( {2x}\right) \mathrm{d}x$ .
💡 答案解析
3. 3.1 (1) 因为 $f\left( x\right)$ 有界,并且只有一个不连续点 $x = 0$ ,所以 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack$ 上可积.
(2)由微积分基本定理,
$$ {\int }_{-1}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t = {x}^{2}\sin \frac{1}{x} + \sin
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将积分变量从x换为t=2x
令 t = 2x，则 x = t/2，dx = dt/2。当 x 从 0 到 1 时，t 从 0 到 2。积分变为 ∫_{0}^{1} x^2 f''(2x) dx = ∫_{0}^{2} (t/2)^2 f''(t) * (1/2) dt = (1/8) ∫_{0}^{2} t^2 f''(t) dt。
公式：t=2x, dx=dt/2
提示：注意积分限和微分元的变换。
步骤 2/4
目标：应用分部积分法计算 ∫ t^2 f''(t) dt
令 u = t^2, dv = f''(t) dt，则 du = 2t dt, v = f'(t)。分部积分得：∫ t^2 f''(t) dt = t^2 f'(t) - ∫ 2t f'(t) dt。
公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：选择u和dv时，使新积分更简单。
步骤 3/4
目标：再次应用分部积分计算 ∫ 2t f'(t) dt
令 u = 2t, dv = f'(t) dt，则 du = 2 dt, v = f(t)。分部积分得：∫ 2t f'(t) dt = 2t f(t) - ∫ 2 f(t) dt = 2t f(t) - 2∫ f(t) dt。
公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：注意常数因子。
步骤 4/4
目标：代入定积分上下限并利用已知条件
原积分 I = (1/8)[ t^2 f'(t) - 2t f(t) + 2∫ f(t) dt ]_{0}^{2}。代入 t=2：2^2 f'(2) - 2*2 f(2) + 2∫_{0}^{2} f(t) dt = 4*0 - 4*(1/2) + 2*1 = 0 - 2 + 2 = 0。代入 t=0：0^2 f'(0) - 0 + 2∫_{0}^{0} f(t) dt = 0。所以 I = (1/8)(0 - 0) = 0。
公式：f(2)=1/2, f'(2)=0, ∫_0^2 f(x)dx=1
提示：注意下限0处各项为0。
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