方企勤 第三章 一元函数积分学 第3.3题

教材习题

📝 题目

3. 3.20 设 $f\left( x\right)$ 在 $\lbrack 0, + \infty )$ 上单调上升,函数

$$ F\left( x\right) \frac{\text{ 定义 }\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{x}{\int }_{0}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t, & x > 0, \\ f\left( {0 + 0}\right) , & x =

💡 答案解析

3. 3.20 对 $\forall {x}_{2} > {x}_{1} > 0$ ,

$$ F\left( {x}_{1}\right) = \frac{1}{{x}_{1}}{\int }_{0}^{{x}_{1}}f\left( t\right) \mathrm{d}t\overset{u = {x}_{1}t}{ = }{\int }_{0}^{1}f\left( {{x}_{1}u}\right) \mathrm{d}u, $$

$$ F\left( {x}_{2}\right) = \frac{1}{{x}_{2}}{\int }_{0}^{{x}_{2}}f\left( t\right) \mathrm{d}t\overset{u = {x}_{2}t}{ = }{\int }_{0}^{1}f\left( {{x}_{2}u}\right) \mathrm{d}u. $$

因为 $f\left( x\right) \uparrow$ ,所以

$$ F\left( {x}_{1}\right) = {\int }_{0}^{1}f\left( {{x}_{1}u}\right) \mathrm{d}u \leq {\int }_{0}^{1}f\left( {{x}_{2}u}\right) \mathrm{d}u = F\left( {x}_{2}\right) \Rightarrow F\left( x\right) \uparrow . $$

再由 $f\left( x\right)$ 单调上升,有

$$ f\left( {0 + 0}\right) \leq f\left( {xu}\right) \leq f\left( x\right) \;\left( {\forall x > 0,0 \leq u \leq 1}\right) $$

推出

$$ f\left( {0 + 0}\right) = F\left( 0\right) \leq F\left( x\right) = {\int }_{0}^{1}f\left( {xu}\right) \mathrm{d}u \leq f\left( x\right) , $$

由此根据夹挤准则, 有

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 + 0}}F\left( x\right) = f\left( {0 + 0}\right) = F\left( 0\right) . $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：证明F(x)单调上升
对任意x2 > x1 > 0，通过变量代换将F(x1)和F(x2)表示为积分形式：令u = t/x1，则F(x1) = ∫₀¹ f(x1 u) du；令u = t/x2，则F(x2) = ∫₀¹ f(x2 u) du。由于f单调上升，对任意u∈[0,1]有f(x1 u) ≤ f(x2 u)，因此F(x1) ≤ F(x2)，即F(x)在(0,+∞)上单调上升。
公式：F(x) = (1/x)∫₀ˣ f(t) dt = ∫₀¹ f(xu) du
提示：利用变量代换将积分区间归一化，便于比较。
步骤 2/2
目标：证明F(x)在x=0处连续
由f单调上升，对任意x>0和u∈[0,1]有f(0+0) ≤ f(xu) ≤ f(x)。积分得f(0+0) = F(0) ≤ F(x) ≤ f(x)。当x→0+时，f(x)→f(0+0)，由夹逼准则得lim_{x→0+} F(x) = f(0+0) = F(0)，故F(x)在x=0处右连续。
公式：f(0+0) ≤ F(x) ≤ f(x)
提示：利用单调性得到不等式，再用夹逼准则求极限。

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