方企勤 第三章 一元函数积分学 第3.4题
📝 题目
3. 4.1 求(1)椭圆面 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1$ 的面积；
(2)椭球 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} + \frac{{z}^{2}}{{c}^{2}} \leq 1$ 的体积.
💡 答案解析
3. 4.1 (1) ${\pi ab};\;\left( 2\right) \frac{4}{3}{\pi abc}$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求椭圆面积
椭圆方程化为标准形式，利用对称性，面积 A = 4∫_0^a y dx，其中 y = b√(1 - x^2/a^2)。
公式：A = 4∫_0^a b√(1 - x^2/a^2) dx
提示：利用三角代换 x = a sinθ 简化积分。
步骤 2/4
目标：计算椭圆面积积分
令 x = a sinθ，则 dx = a cosθ dθ，当 x=0 时 θ=0，x=a 时 θ=π/2。积分变为 A = 4∫_0^{π/2} b cosθ * a cosθ dθ = 4ab∫_0^{π/2} cos^2θ dθ。利用倍角公式 cos^2θ = (1+cos2θ)/2，得 A = 4ab * (1/2) * (π/2) = πab。
公式：∫_0^{π/2} cos^2θ dθ = π/4
提示：注意积分上下限变换，以及三角恒等式的使用。
步骤 3/4
目标：求椭球体积
椭球体积 V = 8∫_0^a ∫_0^{b√(1-x^2/a^2)} c√(1 - x^2/a^2 - y^2/b^2) dy dx，利用对称性。
公式：V = 8∫_0^a ∫_0^{b√(1-x^2/a^2)} c√(1 - x^2/a^2 - y^2/b^2) dy dx
提示：先对 y 积分，再对 x 积分，使用广义极坐标变换。
步骤 4/4
目标：计算椭球体积积分
令 x = a u, y = b v, z = c w，则雅可比行列式为 abc，积分区域变为单位球 u^2+v^2+w^2 ≤ 1。体积 V = abc * (4/3)π = (4/3)πabc。
公式：V = abc * 体积(单位球) = abc * (4/3)π
提示：变量替换简化积分区域，利用已知球体积公式。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。