方企勤 第三章 一元函数积分学 第3.5题
📝 题目
3.5.3 判别广义积分 $\displaystyle{\int }_{0}^{+\infty }\frac{\arctan {bx} - \arctan {ax}}{x}\mathrm{\;d}x\left( {b > a > 0}\right)$ 的收敛性.
💡 答案解析
3.5.3 收敛. 记被积函数为 $f\left( x\right)$ ,当 $x \rightarrow 0$ 时, $f\left( x\right) \rightarrow b - a$ ; 当 $x > 1$ 时,
$$ 0 < f\left( x\right) = \frac{1}{x}{\int }_{ax}^{bx}\frac{\mathrm{d}t}{1 + {t}^{2}} \leq \frac{b - a}{{a}^{2}{x}^{2}}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析被积函数在 x→0 时的行为
当 x→0 时，利用等价无穷小：arctan(bx) ~ bx，arctan(ax) ~ ax，因此 f(x) = (arctan(bx) - arctan(ax))/x ~ (bx - ax)/x = b - a，为非零常数，故 x=0 不是瑕点，积分在0附近收敛。
公式：arctan(u) ~ u (u→0)
提示：注意等价无穷小替换时，分子相减后除以x得到常数。
步骤 2/3
目标：分析被积函数在 x→+∞ 时的行为
当 x>1 时，利用积分表示：arctan(bx) - arctan(ax) = ∫_{ax}^{bx} dt/(1+t^2)。因此 f(x) = (1/x) ∫_{ax}^{bx} dt/(1+t^2)。由于 t≥ax，有 1/(1+t^2) ≤ 1/(a^2 x^2)，所以 0 < f(x) ≤ (1/x) * (b-a)x * 1/(a^2 x^2) = (b-a)/(a^2 x^2)。而 ∫_{1}^{+∞} (b-a)/(a^2 x^2) dx 收敛，由比较判别法知原积分在无穷远处收敛。
公式：arctan(bx) - arctan(ax) = ∫_{ax}^{bx} dt/(1+t^2)
提示：利用积分表示放缩时，注意积分区间长度是(b-a)x。
步骤 3/3
目标：综合判断收敛性
由于积分在0附近和无穷远处均收敛，且被积函数在(0,+∞)上连续（x=0处为可去间断点），故广义积分收敛。
提示：广义积分收敛需检查所有瑕点和无穷远点。
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