方企勤 第四章 级 数 第4.1题
📝 题目
4. 1.8 设 $0 < {p}_{1} < {p}_{2} < \cdots < {p}_{n} < \cdots$ . 求证: 级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{p}_{n}}}$ 收敛的充分必要条件为下面的级数收敛:
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{n}{{p}_{1} + {p}_{2} + \cdots + {p}_{n}} $$
💡 答案解析
4. 1.8 利用上题结论,设 ${a}_{n}\frac{\text{ 定义 }}{}\frac{n}{{p}_{1} + {p}_{2} + \cdots + {p}_{n}}$ ,可证 ${a}_{2n} \leq \frac{2}{{p}_{n}}$ . 4.1.9 (1) 收敛；(2)收敛；(3)收敛；(4)收敛. 4.1.10 (1) 收敛；(2)收敛；(3)收敛；(4)收敛.
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：建立级数项之间的关系
设 a_n = n / (p_1 + p_2 + ... + p_n)。由于 p_n 严格递增，考虑 a_{2n} 与 1/p_n 的关系。
公式：a_{2n} = 2n / (p_1 + ... + p_{2n})
提示：利用 p_n 递增，分母中前 n 项和小于 n p_n，后 n 项和大于 n p_{2n}，但需要上界。
步骤 2/4
目标：证明 a_{2n} ≤ 2/p_n
因为 p_1 + ... + p_{2n} ≥ p_1 + ... + p_n + n p_{n+1} ≥ n p_n + n p_n = 2n p_n，所以 a_{2n} = 2n / (p_1+...+p_{2n}) ≤ 2n / (2n p_n) = 1/p_n。实际上更精确地，由于 p_{n+1} > p_n，有 p_1+...+p_{2n} ≥ n p_n + n p_{n+1} > n p_n + n p_n = 2n p_n，因此 a_{2n} < 1/p_n。但题目中给出 ≤ 2/p_n，可能考虑更宽松的估计。
公式：a_{2n} ≤ 2/p_n
提示：注意不等号方向，分母越大分数越小。
步骤 3/4
目标：利用比较判别法证明充分性
若 ∑ 1/p_n 收敛，则 ∑ a_{2n} 收敛（因为 a_{2n} ≤ 2/p_n），而 ∑ a_n 与 ∑ a_{2n} 同敛散（正项级数，部分和单调），故 ∑ a_n 收敛。
公式：∑ a_n 收敛 ⇔ ∑ a_{2n} 收敛
提示：正项级数收敛当且仅当其子列部分和收敛。
步骤 4/4
目标：证明必要性
若 ∑ a_n 收敛，则 ∑ a_{2n} 收敛。由 a_{2n} = 2n/(p_1+...+p_{2n})，且 p_1+...+p_{2n} ≤ 2n p_{2n}，得 a_{2n} ≥ 1/p_{2n}。因此 ∑ 1/p_{2n} 收敛，又因为 p_n 递增，∑ 1/p_n 与 ∑ 1/p_{2n} 同敛散，故 ∑ 1/p_n 收敛。
公式：a_{2n} ≥ 1/p_{2n}
提示：注意分母上界得到下界。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。