方企勤 第四章 级 数 第4.3题

教材习题

📝 题目

4.3.6 设 $0 < a < 1$ ,求证:

(1) $\displaystyle{\int }_{0}^{b}\frac{{x}^{a - 1}}{1 + x}\mathrm{\;d}x = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}}{n + a}{b}^{n + a}\;\left( {0 \leq b < 1}\right)$ ；

(2)级数 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}}{n + a}{b}^{n + a}$ 对 $b$ 在 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上一致收敛；

(3) $\displaystyle{\int }_{0}^{1}\frac{{x}^{a - 1}}{1 + x}\mathrm{\;d}x = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}}{n + a}$ .

💡 答案解析

### 4.3.4 求下列级数的和

#### (1) $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n! 2^n} x^n}$

**解答步骤**：

首先，将级数拆分成两个部分： $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n! 2^n} x^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n! 2^n} x^n + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n! 2^n} x^n $$ 注意 $\frac{n}{n!} = \frac{1}{(n-1)!}$，所以： $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n! 2^n} x^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} \left(\frac{x}{2}\right)^n $$ 令 $m = n-1$，则： $$ = \frac{x}{2} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{m!} \left(\frac{x}{2}\right)^m = \frac{x}{2} e^{x/2} $$ 第二部分： $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n! 2^n} x^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \left(\frac{x}{2}\right)^n = e^{x/2} - 1 $$ 因此，原级数和为： $$ \frac{x}{2} e^{x/2} + e^{x/2} - 1 = e^{x/2}\left(1 + \frac{x}{2}\right) - 1 $$

**答案**： $$ \boxed{e^{x/2}\left(1+\frac{x}{2}\right)-1} $$

---

#### (2) $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4n+1}}{4n+1}}$

**解答步骤**：

考虑函数： $$ S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4n+1}}{4n+1} $$ 对 $x$ 求导： $$ S'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^{4n} = \frac{1}{1-x^4}, \quad |x|<1 $$ 积分得： $$ S(x) = \int_0^x \frac{dt}{1-t^4} $$ 利用部分分式： $$ \frac{1}{1-t^4} = \frac{1}{2(1-t^2)} + \frac{1}{2(1+t^2)} $$ 更精确地： $$ \frac{1}{1-t^4} = \frac{1}{4}\left( \frac{1}{1-t} + \frac{1}{1+t} + \frac{2}{1+t^2} \right) $$ 积分： $$ \int_0^x \frac{dt}{1-t} = -\ln(1-x),\quad \int_0^x \frac{dt}{1+t} = \ln(1+x),\quad \int_0^x \frac{2}{1+t^2} dt = 2\arctan x $$ 因此： $$ S(x) = \frac{1}{4}\left( -\ln(1-x) + \ln(1+x) + 2\arctan x \right) = \frac{1}{4}\ln\frac{1+x}{1-x} + \frac{1}{2}\arctan x $$

**答案**： $$ \boxed{\frac14 \ln\frac{1+x}{1-x} + \frac12 \arctan x} $$

---

#### (3) $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n-1}}$

**解答步骤**：

已知： $$ \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}, \quad |x|<1 $$ 求导一次： $$ \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2} $$ 再求导一次： $$ \sum_{n=1}^{\infty} n(n-1) x^{n-2} = \frac{2}{(1-x)^3} $$ 但我们要求的是 $\displaystyle{\sum n^2 x^{n-1}}$。注意： $$ n^2 = n(n-1) + n $$ 所以： $$ \sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n-1} = \sum_{n=1}^{\infty} n(n-1) x^{n-1} + \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} $$ 第一项： $$ \sum_{n=1}^{\infty} n(n-1) x^{n-1} = x \sum_{n=1}^{\infty} n(n-1) x^{n-2} = x \cdot \frac{2}{(1-x)^3} $$ 第二项就是 $\frac{1}{(1-x)^2}$。因此： $$ \sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n-1} = \frac{2x}{(1-x)^3} + \frac{1}{(1-x)^2} = \frac{2x + (1-x)}{(1-x)^3} = \frac{1+x}{(1-x)^3} $$

**答案**： $$ \boxed{\frac{1+x}{(1-x)^3}} $$

---

### 4.3.5 求下列级数的和

#### (1) $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-1}{2^n}}$

**解答步骤**：

拆开： $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-1}{2^n} = 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} $$ 已知： $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = 1 $$ 以及： $$ \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2},\quad |x|<1 $$ 令 $x = \frac12$： $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} = \frac{1/2}{(1-1/2)^2} = \frac{1/2}{1/4} = 2 $$ 所以： $$ 2 \times 2 - 1 = 3 $$

**答案**： $$ \boxed{3} $$

---

#### (2) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(2n+1)}$

**解答步骤**：

部分分式： $$ \frac{1}{n(2n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{2}{2n+1} $$ 所以： $$ \sum_{n=1}^N \frac{1}{n(2n+1)} = \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} - 2\sum_{n=1}^N \frac{1}{2n+1} $$ 令 $\displaystyle{S_N = \sum_{k=1}^{2N+1} \frac{1}{k}}$，则： $$ \sum_{n=1}^N \frac{1}{2n+1} = S_{2N+1} - 1 - \frac12 \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} $$ 代入得： $$ \sum_{n=1}^N \frac{1}{n(2n+1)} = H_N - 2\left( H_{2N+1} - 1 - \frac12 H_N \right) = H_N - 2H_{2N+1} + 2 + H_N $$ $$ = 2H_N - 2H_{2N+1} + 2 $$ 当 $\displaystyle{N\to\infty}$，利用 $H_N = \ln N + \gamma + o(1)$，$H_{2N+1} = \ln(2N+1) + \gamma + o(1)$，得： $$ 2\ln N - 2\ln(2N) + 2 = 2\ln\frac{N}{2N} + 2 = 2\ln\frac12 + 2 = 2 - 2\ln 2 $$

**答案**： $$ \boxed{2 - 2\ln 2} $$

---

#### (3) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(2n+1)}$

**解答步骤**：

考虑函数： $$ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(2

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：证明 (1) 将积分展开为幂级数并逐项积分
对于 0 ≤ b < 1，将 1/(1+x) 展开为几何级数：1/(1+x) = ∑_{n=0}^∞ (-1)^n x^n，在 [0,b] 上一致收敛。则 ∫_0^b x^{a-1}/(1+x) dx = ∫_0^b x^{a-1} ∑_{n=0}^∞ (-1)^n x^n dx = ∑_{n=0}^∞ (-1)^n ∫_0^b x^{n+a-1} dx = ∑_{n=0}^∞ (-1)^n b^{n+a}/(n+a)。
公式：1/(1+x) = ∑_{n=0}^∞ (-1)^n x^n, |x|<1; ∫_0^b x^{n+a-1} dx = b^{n+a}/(n+a)
提示：注意几何级数的收敛条件 |x|<1，这里 x∈[0,b]⊂[0,1)，所以一致收敛，可以逐项积分。
步骤 2/3
目标：证明 (2) 级数在 [0,1] 上一致收敛
考虑级数 ∑_{n=0}^∞ (-1)^n b^{n+a}/(n+a)。当 b∈[0,1] 时，|(-1)^n b^{n+a}/(n+a)| ≤ 1/(n+a) ≤ 1/n，但 ∑ 1/n 发散，不能用 Weierstrass M-判别法。改用 Abel 判别法：令 u_n(b)=(-1)^n/(n+a)，v_n(b)=b^{n+a}。由于 ∑ u_n 收敛（交错级数，且 1/(n+a) 递减趋于 0），且 v_n(b) 对每个 b 单调（关于 n 递减），且一致有界 |v_n(b)|≤1，故级数一致收敛。
公式：Abel 判别法：若 ∑ a_n 收敛，{b_n} 单调且一致有界，则 ∑ a_n b_n 一致收敛。
提示：注意 b=1 时 v_n(1)=1，级数变为 ∑ (-1)^n/(n+a)，仍收敛，但非绝对收敛。
步骤 3/3
目标：证明 (3) 令 b→1- 取极限
由 (2) 知级数在 [0,1] 上一致收敛，故和函数 S(b)=∑_{n=0}^∞ (-1)^n b^{n+a}/(n+a) 在 b=1 处连续。因此 ∫_0^1 x^{a-1}/(1+x) dx = lim_{b→1-} ∫_0^b x^{a-1}/(1+x) dx = lim_{b→1-} S(b) = S(1) = ∑_{n=0}^∞ (-1)^n/(n+a)。
公式：一致收敛级数的和函数连续，故极限与求和可交换。
提示：这里 b→1- 是因为原积分在 b=1 时收敛（瑕积分，a>0），且级数在 b=1 处收敛。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第4.3题 返回列表 第4.3题 →