方企勤 第五章 多元函数微分学 第5.1题
📝 题目
5.1.4 试画出下列集合 $\mathbf{\Omega }$ 的图形:
(1) $\{ \left( {x,y}\right) \mid y > 0,x > y,x < 1\}$ ；
(2) $\{ \left( {x,y}\right) \mid 0 \leq y \leq 2,{2y} \leq x \leq {2y} + 2\}$ ；
(3) $\{ \left( {x,y}\right) \mid 1 \leq {xy} \leq 2,1/2 \leq y/x \leq 1\}$ ；
(4) $\{ \left( {x,y,z}\right) \mid 0 < x < y < z < 1\}$ .
💡 答案解析
5. 1.1 平行四边形两对角线长度平方和等于四边长度平方之和.
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：画出集合(1)的图形
集合(1)为 { (x,y) | y > 0, x > y, x < 1 }。首先画出直线 y=0（x轴，虚线），x=y（虚线），x=1（虚线）。区域满足 y>0（x轴上方），x>y（直线x=y右侧），x<1（直线x=1左侧）。因此区域是三条直线围成的三角形区域，不包括边界。
提示：注意边界为虚线表示不包含边界点。
步骤 2/4
目标：画出集合(2)的图形
集合(2)为 { (x,y) | 0 ≤ y ≤ 2, 2y ≤ x ≤ 2y+2 }。y从0到2，对于每个y，x从2y到2y+2。这是由直线x=2y和x=2y+2以及y=0和y=2围成的平行四边形区域，包括边界。
提示：可以取几个y值（如0,1,2）确定x范围，然后连接端点。
步骤 3/4
目标：画出集合(3)的图形
集合(3)为 { (x,y) | 1 ≤ xy ≤ 2, 1/2 ≤ y/x ≤ 1 }。条件等价于：xy介于1和2之间，y/x介于1/2和1之间。注意x>0（因为y/x有定义且正）。令u=xy, v=y/x，则x=sqrt(u/v), y=sqrt(uv)。u∈[1,2], v∈[1/2,1]。在xy平面上，边界为双曲线xy=1, xy=2和直线y=x/2, y=x。区域为两条双曲线和两条直线围成的区域，包括边界。
提示：注意x>0，区域在第一象限。
步骤 4/4
目标：画出集合(4)的图形
集合(4)为 { (x,y,z) | 0 < x < y < z < 1 }。这是三维空间中的一个区域，由平面x=0, y=0, z=0, x=1, y=1, z=1以及平面x=y, y=z围成。具体是四面体区域：顶点为(0,0,0)但开区域，实际上是由平面x=y, y=z和坐标平面围成的四面体内部，且x>0, z<1。
提示：可以想象三维图形，或者用截面法理解。
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