方企勤 第五章 多元函数微分学 第5.1题
📝 题目
5.1.10 设 $E,F$ 为 ${\mathbf{R}}^{m}$ 中的闭集, $E,F$ 中至少有一为有界集,求证: $\exists x \in$ $E,y \in F$ ,使得 $\rho \left( {x,y}\right) = \rho \left( {E,F}\right)$ .
💡 答案解析
5. 1.9 对 $\forall {x}_{n} \in {F}_{n}$ ,则 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 为有界点列,证它是哥西序列.
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：定义距离并构造点列
设 ρ(E,F) = d，由下确界定义，存在点列 {x_n} ⊆ E 和 {y_n} ⊆ F，使得 ρ(x_n, y_n) → d。由于 E 和 F 中至少有一个有界，不妨设 E 有界，则 {x_n} 有界。
公式：ρ(E,F) = inf{ρ(x,y) | x∈E, y∈F}
提示：注意有界性保证点列有收敛子列。
步骤 2/4
目标：利用紧性得到收敛子列
由 Bolzano-Weierstrass 定理，有界点列 {x_n} 存在收敛子列 {x_{n_k}}，设 x_{n_k} → x ∈ E（因为 E 闭）。考虑对应的 {y_{n_k}}，由于 ρ(x_{n_k}, y_{n_k}) → d，且 {x_{n_k}} 收敛，可证 {y_{n_k}} 有界（否则距离会趋于无穷）。
公式：Bolzano-Weierstrass 定理
提示：若 F 有界则类似处理。
步骤 3/4
目标：证明 {y_{n_k}} 有界并取收敛子列
由于 ρ(x_{n_k}, y_{n_k}) → d，且 {x_{n_k}} 收敛，故 {y_{n_k}} 有界。再次应用 Bolzano-Weierstrass 定理，存在子列 {y_{n_{k_j}}} 收敛于 y ∈ F（因为 F 闭）。
公式：ρ(x_{n_k}, y_{n_k}) → d
提示：有界性由距离收敛保证。
步骤 4/4
目标：证明极限点满足距离等于下确界
由收敛性，ρ(x, y) = lim_{j→∞} ρ(x_{n_{k_j}}, y_{n_{k_j}}) = d。因此存在 x∈E, y∈F 使得 ρ(x,y)=ρ(E,F)。
公式：ρ(x,y) = d
提示：利用距离函数的连续性。
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