方企勤 第五章 多元函数微分学 第5.1题
📝 题目
5. 1.15 对下列函数 $f\left( {x,y}\right)$ ,证明 $\mathop{\lim }\limits_{{\left( {x,y}\right) \rightarrow \left( {0,0}\right) }}f\left( {x,y}\right)$ 不存在:
(1) $f\left( {x,y}\right) = \frac{{x}^{2}}{{x}^{2} + {y}^{2}}$ ; (2) $f\left( {x,y}\right) = \frac{{x}^{2}{y}^{2}}{{x}^{3} + {y}^{3}}$ .
💡 答案解析
5. 1.15 (2) 考虑点(x, y)沿曲线 $y = - x + {x}^{2}$ 趋于(0,0).
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明极限不存在，通过选取不同路径使极限值不同或不存在
对于函数 f(x,y)=x^2/(x^2+y^2)，考虑沿直线 y=kx 趋于 (0,0)。代入得 f(x,kx)=x^2/(x^2+k^2 x^2)=1/(1+k^2)，极限依赖于 k，故极限不存在。
公式：f(x,kx)=1/(1+k^2)
提示：选择不同斜率的直线路径，得到不同极限值。
步骤 2/2
目标：对于函数 f(x,y)=x^2 y^2/(x^3+y^3)，证明极限不存在
考虑沿曲线 y=-x+x^2 趋于 (0,0)。代入得 f(x,-x+x^2)=x^2(-x+x^2)^2/(x^3+(-x+x^2)^3)。化简分子为 x^2(x^2(-1+x)^2)=x^4(1-x)^2，分母为 x^3+(-x+x^2)^3=x^3+(-x)^3(1-x)^3=x^3(1-(1-x)^3)=x^3(3x-3x^2+x^3)=x^4(3-3x+x^2)。因此 f=x^4(1-x)^2/(x^4(3-3x+x^2))=(1-x)^2/(3-3x+x^2)。当 x→0 时，极限为 1/3。
公式：f(x,-x+x^2)=(1-x)^2/(3-3x+x^2)
提示：选择特殊曲线路径，使得分母和分子同阶，得到非零极限。
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