方企勤 第五章 多元函数微分学 第5.1题
📝 题目
5. 1.18 设函数 $f\left( {x,y}\right)$ 在开半平面 $x > 0$ 上一致连续. 证明:
(1) $\forall {y}_{0}$ ,极限 $\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow {0}^{ + }} \\ {y \rightarrow {y}_{0}} }}f\left( {x,y}\right) = \varphi \left( {y}_{0}\right)$ 存在;
(2)函数在 $y$ 轴上补充定义 $\varphi \left( y\right)$ 后,所得函数 $f\left( {x,y}\right)$ 在 $x \geq 0$ 上一致连续.
💡 答案解析
**题目分析** 已知函数 $f(x,y)$ 在开半平面 $x>0$ 上一致连续，这意味着对于任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 满足 $x_1>0,x_2>0$ 且两点距离小于 $\delta$ 时，有 $$ |f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)|<\varepsilon. $$ 我们要证明当 $x\to 0^+$ 且 $y\to y_0$ 时极限存在，并且补充定义后函数在闭半平面 $x\ge 0$ 上一致连续。
---
### (1) 证明极限存在
固定 $y_0$。考虑任意两个点列 $(x_n,y_n)$ 和 $(x'_n,y'_n)$，满足 $$ x_n\to 0^+,\quad y_n\to y_0,\quad x'_n\to 0^+,\quad y'_n\to y_0. $$ 由一致连续性，对于任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $$ |(x_n,y_n)-(x'_n,y'_n)|<\delta $$ 时，有 $$ |f(x_n,y_n)-f(x'_n,y'_n)|<\varepsilon. $$ 由于 $x_n,x'_n\to 0^+$ 且 $y_n,y'_n\to y_0$，当 $n$ 充分大时，两点距离可以任意小，特别地小于 $\delta$，因此 $$ |f(x_n,y_n)-f(x'_n,y'_n)|<\varepsilon. $$ 这说明 $f(x_n,y_n)$ 是柯西序列（因为对于任意两个趋于 $(0,y_0)$ 的点列，函数值的差趋于 0）。由实数完备性，该极限存在，记作 $\varphi(y_0)$。由于点列选取任意，极限值唯一，故 $$ \lim_{\substack{x\to 0^+\\ y\to y_0}} f(x,y)=\varphi(y_0). $$
---
### (2) 补充定义后一致连续
现在在 $x=0$ 上定义 $$ f(0,y)=\varphi(y). $$ 我们要证明 $f(x,y)$ 在闭半平面 $x\ge 0$ 上一致连续。
**步骤一：利用原一致连续性得到控制**
已知在 $x>0$ 上一致连续，即对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta_1>0$，使得当 $x_1,x_2>0$ 且 $$ |(x_1,y_1)-(x_2,y_2)|<\delta_1 $$ 时，有 $$ |f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)|<\varepsilon. $$
**步骤二：处理涉及边界点的情况**
现在考虑可能包含 $x=0$ 的点对。我们需要证明：对于任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当两点都在 $x\ge 0$ 且距离小于 $\delta$ 时，函数值差小于 $\varepsilon$。
分三种情况：
1. **两点都在 $x>0$ 内**：由已知一致连续性，取 $\delta=\delta_1$ 即可。
2. **一点在 $x=0$，另一点在 $x>0$**： 设 $(0,y_0)$ 和 $(x,y)$ 满足 $x>0$ 且距离小于 $\delta$。由 (1) 中极限定义，存在 $\eta>0$，使得当 $0 3. **两点都在 $x=0$ 上**： 设两点为 $(0,y_1)$ 和 $(0,y_2)$。由 (1) 中极限存在，对于任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta_2>0$，使得当 $|y_1-y_2|<\delta_2$ 时，取充分小的 $x>0$，有 $$ |f(x,y_1)-\varphi(y_1)|<\varepsilon/3,\quad |f(x,y_2)-\varphi(y_2)|<\varepsilon/3. $$ 同时由一致连续性，当 $x$ 足够小且 $|y_1-y_2|$ 足够小时，有 $$ |f(x,y_1)-f(x,y_2)|<\varepsilon/3. $$ 于是由三角不等式 $$ |\varphi(y_1)-\varphi(y_2)|\le |\varphi(y_1)-f(x,y_1)|+|f(x,y_1)-f(x,y_2)|+|f(x,y_2)-\varphi(y_2)|<\varepsilon. $$ 这说明 $\varphi(y)$ 在 $y$ 上一致连续。因此存在 $\delta_3>0$，当 $|y_1-y_2|<\delta_3$ 时，有 $$ |\varphi(y_1)-\varphi(y_2)|<\varepsilon. $$ 取 $\delta=\min(\delta_1,\delta_2,\delta_3)$，则当两点都在边界上且距离小于 $\delta$ 时，函数值差也小于 $\varepsilon$。 **步骤三：综合** 取 $\delta$ 为上述各情形所需的最小正值，则对于任意两点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in\{x\ge 0\}$，只要距离小于 $\delta$，无论它们位于内部、边界或跨边界，都有 $$ |f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)|<\varepsilon. $$ 因此补充定义后的函数在 $x\ge 0$ 上一致连续。 --- **结论** (1) 极限存在且唯一； (2) 补充定义后函数在闭半平面一致连续。