方企勤 第五章 多元函数微分学 第5.3题
📝 题目
5.3.4 求由下列方程所确定的 $z = z\left( {x,y}\right)$ 的微分:
(1) $f\left( {{xy},z - y}\right) = 0$ ; (2) $f\left( {x,x + y,x + y + z}\right) = 0$ .
💡 答案解析
5.3.4 (1) $\mathrm{d}z = - \frac{y{f}_{1}^{\prime }}{{f}_{2}^{\prime }}\mathrm{d}x + \frac{{f}_{2}^{\prime } - x{f}_{1}^{\prime }}{{f}_{2}^{\prime }}\mathrm{d}y$ ;
(2) $\mathrm{d}z = - \frac{{f}_{1}^{\prime } + {f}_{2}^{\prime } + {f}_{3}^{\prime }}{{f}_{3}^{\prime }}\mathrm{d}x - \frac{{f}_{2}^{\prime } + {f}_{3}^{\prime }}{{f}_{3}^{\prime }}\mathrm{d}y$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：对(1)中方程两边求全微分
设 F(x,y,z)=f(xy, z-y)=0，则 dF = f1' d(xy) + f2' d(z-y) = f1'(y dx + x dy) + f2'(dz - dy) = 0。
公式：dF = f1' d(xy) + f2' d(z-y) = 0
提示：注意复合函数微分法则，f1'和f2'分别表示对第一个和第二个中间变量的偏导数。
步骤 2/4
目标：整理(1)的微分方程，解出dz
由 f1'(y dx + x dy) + f2'(dz - dy)=0 得 f2' dz = -y f1' dx - x f1' dy + f2' dy，所以 dz = - (y f1'/f2') dx + ((f2' - x f1')/f2') dy。
公式：dz = - (y f1'/f2') dx + ((f2' - x f1')/f2') dy
提示：假设f2'≠0。
步骤 3/4
目标：对(2)中方程两边求全微分
设 F(x,y,z)=f(x, x+y, x+y+z)=0，则 dF = f1' dx + f2' d(x+y) + f3' d(x+y+z) = f1' dx + f2'(dx+dy) + f3'(dx+dy+dz)=0。
公式：dF = f1' dx + f2' (dx+dy) + f3' (dx+dy+dz) = 0
提示：f1', f2', f3'分别表示对第一、二、三个中间变量的偏导数。
步骤 4/4
目标：整理(2)的微分方程，解出dz
合并dx,dy,dz项： (f1'+f2'+f3')dx + (f2'+f3')dy + f3' dz = 0，所以 dz = - (f1'+f2'+f3')/f3' dx - (f2'+f3')/f3' dy。
公式：dz = - (f1'+f2'+f3')/f3' dx - (f2'+f3')/f3' dy
提示：假设f3'≠0。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。