2020年高数A(二)期末第一-10题
📝 题目
10．交换积分次序，则累次积分 $\displaystyle{\int_{0}^{2} d x \int_{0}^{x^{2}} f(x, y) d y=(\quad)}$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定积分区域
原积分次序为先x后y：x从0到2，y从0到x²。积分区域由x=0, x=2, y=0, y=x²围成。
提示：注意y=x²与x=√y的转换
步骤 2/4
目标：用不等式描述区域
区域可表示为：0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x²。
提示：注意积分限的对应关系
步骤 3/4
目标：交换积分次序
交换为先y后x：y的范围从0到4（因为当x=2时，y=x²=4），对于固定的y，x的范围从√y到2（因为y=x²得x=√y，且x≥0）。
公式：$$\int_{0}^{2} dx \int_{0}^{x^{2}} f(x,y) dy = \int_{0}^{4} dy \int_{\sqrt{y}}^{2} f(x,y) dx$$
提示：注意x从√y到2，y上限由x=2决定
步骤 4/4
目标：写出交换后的积分
交换后为 ∫_{0}^{4} dy ∫_{√y}^{2} f(x,y) dx，对应选项A。
公式：$$\int_{0}^{2} dx \int_{0}^{x^{2}} f(x,y) dy = \int_{0}^{4} dy \int_{\sqrt{y}}^{2} f(x,y) dx$$
提示：注意积分限的对应关系，x从0到2，y从0到x²
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