2020年高数A(二)期末第二-1题
📝 题目
1． $\displaystyle{\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} d x=}$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别积分类型
首先，我们识别这是一个反常积分，因为积分上限是 $+\infty$。
提示：注意无穷上限需用极限处理
步骤 2/5
目标：计算不定积分
计算不定积分 $\int \frac{1}{1+x^{2}} dx$，我们知道这是一个基本的积分公式，结果为 $\arctan x + C$。
公式：$$\int \frac{1}{1+x^{2}} dx = \arctan x + C$$
提示：注意积分常数C不要遗漏
步骤 3/5
目标：计算定积分
计算定积分 $\int_{1}^{b} \frac{1}{1+x^{2}} dx = \arctan b - \arctan 1$。
公式：$$\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C$$
提示：注意积分上下限代入反函数
步骤 4/5
目标：取极限
取 $b \to +\infty$ 的极限，$\lim_{b \to +\infty} \arctan b = \frac{\pi}{2}$，$\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$。
公式：$$\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C$$
提示：注意arctan(∞)的极限值为π/2
步骤 5/5
目标：得出结果
因此，$\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} dx = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$。
公式：$$\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C$$
提示：注意上下限代入时arctan的值
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