2020年高数A(二)期末第二-7题
📝 题目
7．微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=0$ 的通解为 $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出特征方程
由微分方程 y'' + 2y' - 3y = 0，对应的特征方程为 r^2 + 2r - 3 = 0。
公式：$$r^2 + 2r - 3 = 0$$
提示：注意特征方程系数对应微分方程
步骤 2/3
目标：求解特征根
解特征方程 r^2 + 2r - 3 = 0，因式分解得 (r + 3)(r - 1) = 0，所以特征根为 r1 = -3，r2 = 1。
公式：$$r^2 + 2r - 3 = 0$$
提示：注意因式分解符号，避免根号计算错误
步骤 3/3
目标：写出通解形式
由于特征根为两个不相等的实根，通解形式为 y = C1 e^{r1 x} + C2 e^{r2 x}，代入得 y = C1 e^{-3x} + C2 e^{x}，其中C1、C2为任意常数。
公式：$$y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$$
提示：注意特征根符号和指数系数
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