2020年高数A(二)期末第二-9题
📝 题目
9．已知幂级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}}$ 的收敛半径为 2，则幂级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n - 1}}$ 的收敛半径为 $\_\_\_\_$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解题意
已知幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径为 2，要求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$ 的收敛半径。
公式：$$R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$$
提示：逐项求导不改变收敛半径
步骤 2/4
目标：幂级数收敛半径的性质
幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径为 $R$，则逐项求导后的幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$ 的收敛半径也是 $R$。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$$
提示：逐项求导不改变收敛半径
步骤 3/4
目标：应用性质
根据上述性质，$\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$ 的收敛半径与 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 相同，即为 2。
提示：逐项求导不改变收敛半径
步骤 4/4
目标：结论
因此，所求幂级数的收敛半径为 $\boxed{2}$。
提示：注意幂级数收敛半径不变性
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。