2020年高数A(二)期末第三-1题
📝 题目
1． $\displaystyle{\iint_{D} x \sqrt{y} d x d y}$ ，其中 $D$ 是由 $y=x^{2}, y=\sqrt{x}$ 所围成的区域。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定积分区域与积分次序
对于第1题，区域D由y=x²与y=√x围成。联立y=x²与y=√x得交点(0,0)和(1,1)。在x∈[0,1]上，下方曲线为y=x²，上方曲线为y=√x。因此积分可写为∫_{x=0}^{1}∫_{y=x²}^{√x} x√y dy dx。
公式：$$\iint_D f(x,y) \, dxdy = \int_{x_1}^{x_2} \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) \, dy \, dx$$
提示：注意确定上下限时，先画图找交点。
步骤 2/4
目标：计算内层积分
先对y积分：∫_{y=x²}^{√x} x√y dy = x ∫_{y=x²}^{√x} y^{1/2} dy = x·(2/3)[y^{3/2}]_{y=x²}^{√x} = (2x/3)[(√x)^{3/2} - (x²)^{3/2}] = (2x/3)[x^{3/4} - x³]。
公式：$$\int y^{1/2} dy = \frac{2}{3} y^{3/2}$$
提示：注意积分上下限代入顺序
步骤 3/4
目标：计算外层积分
对x积分：∫_{0}^{1} (2x/3)(x^{3/4} - x³) dx = (2/3)∫_{0}^{1} (x^{7/4} - x⁴) dx = (2/3)[(4/11)x^{11/4} - (1/5)x⁵]_{0}^{1} = (2/3)(4/11 - 1/5) = (2/3)(20/55 - 11/55) = (2/3)(9/55) = 18/165 = 6/55。
公式：$$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$
提示：注意幂函数积分公式的指数运算
步骤 5/4
目标：计算极坐标下的积分
积分化为∫_{θ=0}^{2π}∫_{r=0}^{1} (1/r)·r dr dθ = ∫_{0}^{2π} dθ ∫_{0}^{1} 1 dr = 2π·1 = 2π。
提示：极坐标变换时注意被积函数和面积元
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