2020年高数A(二)期末第三-2题
📝 题目
2． $\displaystyle{\iint_{D} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} d x d y}$ ，其中 $D$ 是以原点为圆心， $1$ 为半径的圆形区域。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定积分区域与坐标系选择
积分区域 D 是以原点为圆心、半径为 1 的圆盘。被积函数中含有 x²+y²，适合使用极坐标变换：令 x = r cosθ, y = r sinθ，则 dxdy = r dr dθ，且 x²+y² = r²。
公式：$$\iint_D f(x,y) \, dxdy = \iint_{D'} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \, r \, drd\theta$$
提示：极坐标变换时不要漏掉雅可比行列式r
步骤 2/3
目标：将积分转化为极坐标形式
被积函数 1/√(x²+y²) = 1/r，面积元 dxdy = r dr dθ，因此被积函数与面积元乘积为 (1/r)·r dr dθ = dr dθ。积分区域变为：r 从 0 到 1，θ 从 0 到 2π。
公式：$$\iint_D f(x,y) \, dxdy = \iint_{D'} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \, r \, drd\theta$$
提示：注意极坐标变换时面积元要乘r
步骤 3/3
目标：计算累次积分
原积分 = ∫_{θ=0}^{2π} ∫_{r=0}^{1} dr dθ = ∫_{0}^{2π} [r]_{0}^{1} dθ = ∫_{0}^{2π} 1 dθ = 2π。
公式：$$\iint_D f(x,y) \, dxdy = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{1} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \, r \, dr d\theta$$
提示：注意极坐标变换时多一个r因子
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