2020年高数A(二)期末第四-1题
📝 题目
1．$f(x, y)=(x+y)^{x y}$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别函数类型
函数 f(x,y) = (x+y)^{xy} 是幂指函数，底数和指数都含有变量 x 和 y。
提示：注意底数x+y需大于0
步骤 2/5
目标：取对数化简
令 z = f(x,y)，两边取自然对数：ln z = xy ln(x+y)。
公式：$$\ln z = xy \ln(x+y)$$
提示：注意定义域：x+y>0且x,y不同时为0
步骤 3/5
目标：对 x 求偏导（隐函数求导法）
对 ln z = xy ln(x+y) 两边关于 x 求偏导：
(1/z) * ∂z/∂x = y ln(x+y) + xy * (1/(x+y)) * 1
整理得：∂z/∂x = z [ y ln(x+y) + (xy)/(x+y) ]
公式：$$\frac{\partial z}{\partial x} = z \left[ y \ln(x+y) + \frac{xy}{x+y} \right]$$
提示：注意隐函数求导时z是x,y的函数
步骤 4/5
目标：对 y 求偏导（对称性）
由对称性，交换 x 与 y 的位置：
∂z/∂y = z [ x ln(x+y) + (xy)/(x+y) ]
提示：注意对称性应用时需正确交换变量
步骤 5/5
目标：代回原函数
将 z = (x+y)^{xy} 代入，得到偏导数表达式：
∂f/∂x = (x+y)^{xy} [ y ln(x+y) + (xy)/(x+y) ]
∂f/∂y = (x+y)^{xy} [ x ln(x+y) + (xy)/(x+y) ]
公式：$$\frac{\partial f}{\partial x} = (x+y)^{xy} \left[ y \ln(x+y) + \frac{xy}{x+y} \right]$$
提示：注意对指数和底数同时求导
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