2020年高数A(二)期末第四-2题
📝 题目
2．$f(x, y)=\sin \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：明确函数结构
令 u = √(x² + y²)，则 f(x, y) = sin u，u 是 x, y 的函数。
公式：$$f(x, y) = \sin u, \quad u = \sqrt{x^2 + y^2}$$
提示：注意u是中间变量，需区分内外函数
步骤 2/3
目标：求偏导 ∂f/∂x
∂f/∂x = cos u · ∂u/∂x，其中 ∂u/∂x = x / √(x² + y²) = x / u，所以 ∂f/∂x = cos(√(x²+y²)) · (x / √(x²+y²))。
公式：$$\frac{\partial f}{\partial x} = \cos(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial x}, \quad u = \sqrt{x^2 + y^2}$$
提示：注意链式法则中中间变量u的求导
步骤 3/3
目标：求偏导 ∂f/∂y
类似地，∂f/∂y = cos u · ∂u/∂y，∂u/∂y = y / √(x² + y²) = y / u，所以 ∂f/∂y = cos(√(x²+y²)) · (y / √(x²+y²))。
公式：$$\frac{\partial f}{\partial y} = \cos(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial y}, \quad u = \sqrt{x^2 + y^2}$$
提示：注意链式法则中内层函数求导
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