2020年高数A(二)期末第五-2题
📝 题目
2．求二元函数 $f(x, y)=x^{3}+y^{3}-3 x y$ 的极值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求二元函数极值
对 f(x,y)=x³+y³-3xy 求偏导数：f_x=3x²-3y，f_y=3y²-3x。令偏导数为0，得方程组 3x²-3y=0 和 3y²-3x=0，解得驻点 (0,0) 和 (1,1)。
公式：$$\frac{\partial f}{\partial x}=3x^2-3y=0, \frac{\partial f}{\partial y}=3y^2-3x=0$$
提示：解方程组时注意消元，避免遗漏解
步骤 2/5
目标：判断极值类型
计算二阶偏导数：f_xx=6x，f_yy=6y，f_xy=-3。在 (0,0) 处，AC-B²=(0)(0)-(-3)²=-9<0，不是极值点。在 (1,1) 处，AC-B²=(6)(6)-(-3)²=36-9=27>0，且 A=6>0，所以 (1,1) 是极小值点，极小值为 f(1,1)=1+1-3=-1。
公式：$$AC-B^2 = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$$
提示：注意AC-B²的符号及A的正负判断极值
步骤 3/5
目标：求解微分方程特解
已知 y=x² 是方程 x²y'+P(x)y=3x³ 的一个解，代入得 x²·2x + P(x)·x² = 3x³，即 2x³ + P(x)x² = 3x³，解得 P(x)=x。原方程为 x²y' + x y = 3x³，即 y' + (1/x)y = 3x。
提示：注意代入后正确求解P(x)
步骤 4/5
目标：解一阶线性微分方程
这是一阶线性微分方程，通解公式：y = e^{-∫(1/x)dx} [ ∫ 3x·e^{∫(1/x)dx} dx + C ] = e^{-ln|x|} [ ∫ 3x·e^{ln|x|} dx + C ] = (1/x)[ ∫ 3x·x dx + C ] = (1/x)[ ∫ 3x² dx + C ] = (1/x)[ x³ + C ] = x² + C/x。
公式：$$y = e^{-\int P(x) dx} \left[ \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx + C \right]$$
提示：注意绝对值处理及积分常数
步骤 5/5
目标：确定常数C
代入初始条件 y|_{x=1}=2，得 2 = 1² + C/1，即 2=1+C，解得 C=1。所以特解为 y = x² + 1/x。
提示：代入初始条件时注意分母不为零
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