2020年高数A(二)期末第五-3题
📝 题目
3．设 $y=x^{2}$ 是方程 $x^{2} y^{\prime}+P(x) y=3 x^{3}$ 的一个解，求该方程满足 $\left.y\right|_{x=1}=2$ 的特解
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：代入已知解求P(x)
已知 y = x² 是方程的解，代入方程：x²·(2x) + P(x)·x² = 3x³，即 2x³ + P(x)x² = 3x³，解得 P(x) = x。
公式：$$x^2 \cdot (2x) + P(x) \cdot x^2 = 3x^3$$
提示：注意代入解时正确求导
步骤 2/5
目标：写出原方程并化为标准形式
原方程为 x²y' + x y = 3x³，两边除以 x²（x≠0）得：y' + (1/x) y = 3x。
公式：$$y' + \frac{1}{x}y = 3x$$
提示：注意除以x²时x≠0的条件
步骤 3/5
目标：求对应齐次方程的通解
齐次方程 y' + (1/x) y = 0 的通解为 y = C / x。
公式：$$y' + \frac{1}{x}y = 0$$
提示：注意齐次方程分离变量时x≠0
步骤 4/5
目标：用常数变易法求非齐次方程的通解
设 y = C(x)/x，代入非齐次方程得 C'(x)/x = 3x，即 C'(x) = 3x²，积分得 C(x) = x³ + C。因此通解为 y = (x³ + C)/x = x² + C/x。
公式：$$y = \frac{C(x)}{x}$$
提示：注意常数变易法的代入和积分
步骤 5/5
目标：利用初始条件确定特解
代入 x=1, y=2：2 = 1² + C/1，得 C = 1。所以满足条件的特解为 y = x² + 1/x。
提示：注意代入初始条件时正确计算常数C
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