2021年高数A(二)期末第一-2题
📝 题目
2．假设 $\displaystyle{y=\int_{0}^{x} t^{2}(t+2) d t}$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=0}=$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：应用微积分基本定理
由微积分基本定理，若 y = ∫₀ˣ f(t) dt，则 dy/dx = f(x)。这里 f(t) = t²(t+2)。
公式：$$\frac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$$
提示：注意积分上限是x，下限是常数
步骤 2/4
目标：写出导数表达式
因此 dy/dx = x²(x+2)。
公式：$$\frac{d}{dx}\int_{0}^{x} f(t) dt = f(x)$$
提示：注意积分上限是x，直接代入被积函数
步骤 3/4
目标：代入 x=0 求值
将 x=0 代入得：0²×(0+2) = 0。
公式：$$\frac{dy}{dx} = x^2(x+2)$$
提示：代入x=0时注意被积函数形式
步骤 4/4
目标：选择答案
所以结果为 0，对应选项 A。
提示：注意积分上限为0时，定积分为0。
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