2021年高数A(二)期末第一-3题
📝 题目
3．下列选项中，是微分方程 $x y^{\prime}-y=x^{2}$ 的解的是
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出微分方程并整理
原方程为 $x y' - y = x^2$，可化为 $y' - \frac{1}{x} y = x$，为一阶线性微分方程。
公式：$$y' - \frac{1}{x} y = x$$
提示：注意化为标准形式时系数符号
步骤 2/7
目标：代入选项验证
将每个选项代入原方程 $x y' - y = x^2$ 验证是否成立。
公式：$$x y' - y = x^2$$
提示：代入后需化简验证恒等
步骤 3/7
目标：验证选项A：y = x^3
计算 $y' = 3x^2$，代入左边得 $x \cdot 3x^2 - x^3 = 3x^3 - x^3 = 2x^3$，右边为 $x^2$，不相等，故A不是解。
公式：$$x y' - y = x^2$$
提示：代入后左右必须恒等
步骤 4/7
目标：验证选项B：y = -x^2
计算 $y' = -2x$，代入左边得 $x \cdot (-2x) - (-x^2) = -2x^2 + x^2 = -x^2$，右边为 $x^2$，不相等，故B不是解。
公式：$$y' = -2x$$
提示：代入验证时注意符号运算
步骤 5/7
目标：验证选项C：y = x^2
计算 $y' = 2x$，代入左边得 $x \cdot 2x - x^2 = 2x^2 - x^2 = x^2$，右边为 $x^2$，相等，故C是解。
公式：$$x y' - y = x^2$$
提示：代入验证时注意求导正确
步骤 6/7
目标：验证选项D：y = -x^3
计算 $y' = -3x^2$，代入左边得 $x \cdot (-3x^2) - (-x^3) = -3x^3 + x^3 = -2x^3$，右边为 $x^2$，不相等，故D不是解。
公式：$$y' = -3x^2$$
提示：代入验证时注意符号和幂次
步骤 7/7
目标：得出答案
只有选项C满足方程，因此正确答案是C。
提示：代入验证时需计算导数并化简
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