2021年高数A(二)期末第一-5题
📝 题目
5．下面积分，一定与 $\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) d x}$ 相等的是（ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解定积分的基本性质
定积分 ∫ₐᵇ f(x) dx 的值只与被积函数 f 和积分区间 [a, b] 有关，与积分变量用什么字母表示无关。
提示：积分变量符号不影响积分值
步骤 2/6
目标：分析选项A
选项A中出现了 dx²，这不是标准的积分变量表示，且 x² 与 x 的映射关系改变了积分区间和微元，一般不等于原积分。
提示：注意积分变量替换时微元与区间需对应
步骤 3/6
目标：分析选项B
选项B为 ∫ₐᵇ f(t) dt，只是将积分变量由 x 换为 t，积分区间和被积函数均不变，因此与原积分相等。
提示：积分变量名称不影响积分值
步骤 4/6
目标：分析选项C
选项C为 ∫ₐᵇ f(t) dx，被积函数中 t 是常数（与 x 无关），积分变量是 x，结果等于 f(t)(b-a)，一般不等于原积分。
公式：$$\int_a^b f(t) \, dx = f(t)(b-a)$$
提示：注意积分变量与常数区分
步骤 5/6
目标：分析选项D
选项D为 ∫ᵇₐ f(x) dx，积分上下限交换，由定积分性质知 ∫ᵇₐ f(x)dx = -∫ₐᵇ f(x)dx，与原积分互为相反数，不相等。
公式：$$\int_{a}^{b} f(x) dx = -\int_{b}^{a} f(x) dx$$
提示：注意积分上下限交换后符号相反
步骤 6/6
目标：得出结论
只有选项B与原积分相等，故正确答案为B。
提示：注意积分区间变换时符号的变化
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