2021年高数A(二)期末第一-6题
📝 题目
6．下列级数，绝对收敛的是
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解绝对收敛定义
绝对收敛要求原级数各项取绝对值后得到的正项级数收敛。因此需要分别判断每个选项的绝对值级数是否收敛。
提示：注意区分绝对收敛与条件收敛
步骤 2/6
目标：分析选项A
选项A：∑|(-1)^n sin(1/n)| = ∑ sin(1/n)。当n→∞时，sin(1/n) ~ 1/n，而∑1/n发散（调和级数），由比较判别法知∑ sin(1/n)发散，故A不是绝对收敛。
公式：$$\sin(1/n) \sim 1/n$$
提示：注意比较判别法需确认正项级数
步骤 3/6
目标：分析选项B
选项B：∑|(-1)^n / √n| = ∑ 1/√n = ∑ 1/n^{1/2}，这是p=1/2的p-级数，p≤1时发散，故B不是绝对收敛。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \text{ 收敛当且仅当 } p>1$$
提示：p-级数中p≤1时发散，注意比较判别法
步骤 4/6
目标：分析选项C
选项C：∑|(-1)^n ln(1+1/n²)| = ∑ ln(1+1/n²)。当n→∞时，ln(1+1/n²) ~ 1/n²，而∑1/n²收敛（p=2的p-级数），由比较判别法知∑ ln(1+1/n²)收敛，故C绝对收敛。
公式：$$\ln(1+\frac{1}{n^2}) \sim \frac{1}{n^2}$$
提示：注意等价无穷小替换的条件
步骤 5/6
目标：分析选项D
选项D：∑|(-1)^n (n+1)/n| = ∑ (n+1)/n = ∑ (1 + 1/n)，通项不趋于0（趋于1），级数发散，故D不是绝对收敛。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)$$
提示：通项不趋于0是级数发散的充分条件
步骤 6/6
目标：得出结论
只有选项C的绝对值级数收敛，因此绝对收敛的是C。
提示：注意区分绝对收敛与条件收敛
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