2021年高数A(二)期末第一-8题
📝 题目
8．交换积分次序 $\displaystyle{\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1-x} f(x, y) d y=}$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定积分区域
原积分次序为先x后y：x从0到1，y从0到1-x。积分区域由直线x=0，x=1，y=0和y=1-x围成，即三角形区域：0≤x≤1，0≤y≤1-x。
提示：注意积分区域边界直线方程
步骤 2/4
目标：改写积分区域为y型区域
将区域表示为y的范围：y从0到1；对于固定的y，x的范围从0到1-y。
公式：$$\int_{0}^{1} dy \int_{0}^{1-y} f(x,y) dx$$
提示：注意x和y的上下限对应关系
步骤 3/4
目标：写出交换次序后的积分
交换次序后积分形式为：∫_{0}^{1} dy ∫_{0}^{1-y} f(x,y) dx。
公式：$$\int_{0}^{1} dy \int_{0}^{1-y} f(x,y) dx$$
提示：注意积分限对应关系，y从0到1，x从0到1-y
步骤 4/4
目标：选择正确选项
对比选项，B选项为∫_{0}^{1} dy ∫_{0}^{1-y} f(x,y) dx，与结果一致。
公式：$$\int_{0}^{1} dx \int_{0}^{1-x} f(x,y) dy = \int_{0}^{1} dy \int_{0}^{1-y} f(x,y) dx$$
提示：注意积分区域为三角形，x+y≤1
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