2021年高数A(二)期末第二-1题
📝 题目
1． $\displaystyle{\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} d x=}$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算定积分
计算积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} dx$。首先，找到被积函数 $\frac{1}{x^2}$ 的原函数。原函数为 $-\frac{1}{x} + C$，其中 $C$ 为常数。然后，计算定积分：
$$\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{+\infty} = \lim_{x \to +\infty} \left(-\frac{1}{x}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) = 0 + 1 = 1$$
公式：$$\int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{1}{x} + C$$
提示：注意无穷限积分的极限处理
步骤 2/2
目标：确定微分方程的特解
已知微分方程的通解为 $y = e^{x} + Cx^{2}$，其中 $C$ 为任意常数。在初值条件 $y|_{x=1} = e$ 下，求特解。将 $x=1$ 和 $y=e$ 代入通解：
$$e = e^{1} + C \cdot 1^{2} \Rightarrow e = e + C \Rightarrow C = 0$$
因此，特解为 $y = e^{x}$。
公式：$$y = e^{x} + Cx^{2}$$
提示：代入初值条件时注意指数运算
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