2021年高数A(二)期末第二-4题
📝 题目
4．若正项级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}}$ 收敛，而 $\displaystyle{\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{b_{n}}=2}$ ，那么正项级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}}$ $\_\_\_\_$ （收敛，发散）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析已知条件
已知正项级数 ∑a_n 收敛，且 lim_{n→∞} a_{n+1}/b_n = 2。由于极限为正常数2，根据极限形式的比较判别法，当 n 充分大时，a_{n+1} 与 b_n 是同阶无穷小量。
公式：$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{b_n} = 2$$
提示：注意极限为正常数，同阶无穷小
步骤 2/3
目标：应用比较判别法
由 lim_{n→∞} a_{n+1}/b_n = 2 > 0，可知级数 ∑b_n 与 ∑a_{n+1} 具有相同的敛散性。而 ∑a_{n+1} 是 ∑a_n 去掉第一项后的级数，收敛性不变，因此 ∑a_{n+1} 收敛。
公式：$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{b_n} = 2 > 0$$
提示：注意比较判别法需正项级数且极限存在
步骤 3/3
目标：得出结论
由于 ∑b_n 与收敛的 ∑a_{n+1} 同敛散，故 ∑b_n 也收敛。
提示：注意正项级数收敛时加括号仍收敛
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