2021年高数A(二)期末第二-5题
📝 题目
5．设 $z=x y$ ，则 $\left.d z\right|_{(1,2)}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求全微分 $dz$
对于函数 $z = xy$，其全微分为 $dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$。计算偏导数：$\frac{\partial z}{\partial x} = y$，$\frac{\partial z}{\partial y} = x$。因此，$dz = y dx + x dy$。
公式：$$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$$
提示：注意偏导数的计算和代入点。
步骤 2/4
目标：计算 $dz$ 在点 $(1,2)$ 处的值
将点 $(1,2)$ 代入 $dz$ 的表达式：$dz|_{(1,2)} = 2 dx + 1 dy = 2dx + dy$。
公式：$$dz = y\,dx + x\,dy$$
提示：注意代入顺序：先求偏导再代值
步骤 3/4
目标：隐函数求导
对于方程 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$，假设 $z$ 是 $x$ 和 $y$ 的函数。对两边关于 $x$ 求偏导：$2x + 2z \frac{\partial z}{\partial x} = 0$，解得 $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{z}$。
公式：$$2x + 2z \frac{\partial z}{\partial x} = 0$$
提示：注意z是x,y的函数，求导时z不能视为常数
步骤 4/4
目标：计算 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 在点 $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 处的值
将点 $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 代入 $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{z}$，得到 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)} = -\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$。
公式：$$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{z}$$
提示：注意代入点的坐标顺序
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