2021年高数A(二)期末第二-6题
📝 题目
6．假设 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)}=$ $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定隐函数关系
由方程 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ 可知，$z$ 是 $x$ 和 $y$ 的隐函数。对等式两边关于 $x$ 求偏导，将 $y$ 视为常数，$z$ 视为 $x$ 的函数。
公式：$$\frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2 + z^2) = \frac{\partial}{\partial x}(1)$$
提示：注意z是x和y的函数，求导时要用链式法则
步骤 2/3
目标：求偏导表达式
对 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ 两边对 $x$ 求偏导：$2x + 0 + 2z \frac{\partial z}{\partial x} = 0$，整理得 $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{z}$。
公式：$$2x + 2z \frac{\partial z}{\partial x} = 0$$
提示：注意z是x的函数，求导时需用链式法则
步骤 3/3
目标：代入指定点
将点 $(x, y, z) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 代入 $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{z}$，得 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)} = -\frac{1/2}{\sqrt{2}/2} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$。
公式：$$\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)} = -\frac{1/2}{\sqrt{2}/2} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$
提示：代入时注意分母有理化
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