2021年高数A(二)期末第三-1题
📝 题目
1． $\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin 2 x \mathrm{~d} x}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：选择分部积分公式
令 u = x，dv = sin(2x) dx，则 du = dx，v = -1/2 cos(2x)。
公式：$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$
提示：注意u和dv的选择，v要易积分
步骤 2/5
目标：应用分部积分公式
∫ x sin(2x) dx = -x/2 cos(2x) - ∫ (-1/2 cos(2x)) dx = -x/2 cos(2x) + 1/2 ∫ cos(2x) dx
公式：$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$
提示：注意符号和系数，特别是负号处理
步骤 3/5
目标：计算积分
∫ cos(2x) dx = (1/2) sin(2x)，所以原函数为 -x/2 cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C
公式：$$\int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} \sin(2x)$$
提示：注意分部积分后符号处理
步骤 4/5
目标：代入上下限
在 [0, π/2] 上计算：F(π/2) = -π/4 cos(π) + 1/4 sin(π) = -π/4 * (-1) + 0 = π/4；F(0) = 0 + 0 = 0。
提示：注意cos(π) = -1，sin(π) = 0
步骤 5/5
目标：得出结果
定积分值为 π/4。
公式：$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$
提示：注意分部积分中u和dv的选择
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