2021年高数A(二)期末第三-2题
📝 题目
2． $\displaystyle{\int_{0}^{1} \frac{2 x}{1+x^{2}} d x}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：识别被积函数形式
被积函数为 \(\frac{2x}{1+x^2}\)，注意到分子 \(2x\) 恰好是分母 \(1+x^2\) 的导数，因此可以考虑直接积分。
公式：$$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C$$
提示：注意分子是分母的导数，直接积分
步骤 2/3
目标：求原函数
由 \(\int \frac{2x}{1+x^2} dx = \ln(1+x^2) + C\)，因为 \(\frac{d}{dx}[\ln(1+x^2)] = \frac{2x}{1+x^2}\)。
公式：$$\int \frac{2x}{1+x^2} dx = \ln(1+x^2) + C$$
提示：注意分子是分母的导数，直接积分得对数。
步骤 3/3
目标：代入上下限计算定积分
计算 \(\int_0^1 \frac{2x}{1+x^2} dx = \left[ \ln(1+x^2) \right]_0^1 = \ln(1+1^2) - \ln(1+0^2) = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2\)。
公式：$$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C$$
提示：注意ln1=0，不要忽略绝对值
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