2021年高数A(二)期末第四-1题
📝 题目
1．$\displaystyle f(x, y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析函数定义域
函数 $f(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 在 $(x,y)\neq(0,0)$ 时有定义，原点处无定义。
提示：注意分母不能为零
步骤 2/4
目标：考察极限是否存在
沿不同路径趋近原点：沿 $x$ 轴（$y=0$）时，$f(x,0)=\frac{x}{|x|}$，极限为 $\pm1$ 取决于方向；沿 $y$ 轴（$x=0$）时，$f(0,y)=0$，极限为 $0$。因此极限不存在。
公式：$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$$
提示：注意沿不同路径极限不同
步骤 3/4
目标：讨论连续性
由于在 $(0,0)$ 处函数无定义且极限不存在，故函数在原点不连续。
公式：$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$$
提示：注意函数在原点无定义，需先判断极限是否存在
步骤 4/4
目标：求偏导数（非原点处）
对 $x$ 求偏导：$f_x = \frac{\sqrt{x^2+y^2} - x\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2} = \frac{y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}$。对 $y$ 求偏导：$f_y = x\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{2y}{(x^2+y^2)^{3/2}} = -\frac{xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}$。
公式：$$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) = \frac{y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}$$
提示：注意分母为0的点（原点）需单独讨论
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