2021年高数A(二)期末第五-1题
📝 题目
1． $\displaystyle{\iint_{D} x \sqrt{y} d x d y}$ ，其中 $D$ 是由 $y=x^{2}, y=\sqrt{x}$ 所围成的区域。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：确定积分区域与积分次序
对于第1题，区域D由y=x²和y=√x围成。两条曲线交点为(0,0)和(1,1)。选择先对y后对x积分，x从0到1，y从x²到√x。
公式：$$\iint_D f(x,y) \, dxdy = \int_{x_1}^{x_2} \left( \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) \, dy \right) dx$$
提示：注意交点坐标和积分限的对应关系
步骤 2/2
目标：计算第1题的二重积分
∫_{x=0}^{1} ∫_{y=x²}^{√x} x √y dy dx = ∫_{0}^{1} x [ (2/3) y^(3/2) ]_{y=x²}^{√x} dx = ∫_{0}^{1} x * (2/3)( x^(3/4) - x³ ) dx = (2/3) ∫_{0}^{1} ( x^(7/4) - x⁴ ) dx = (2/3)[ (4/11)x^(11/4) - (1/5)x⁵ ]_{0}^{1} = (2/3)(4/11 - 1/5) = (2/3)(20/55 - 11/55) = (2/3)*(9/55) = 6/55。
公式：$$\iint_D f(x,y)\,dx\,dy = \int_{x_1}^{x_2} \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx$$
提示：注意积分限顺序和变量替换
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。