2021年高数A(二)期末第五-2题
📝 题目
2． $\displaystyle{\iint_{D} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} d d d y}$ ，其中 $D$ 是以原点为圆心， $1$ 为半径的圆形区域
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定积分区域与积分形式
积分区域 D 是以原点为圆心、半径为1的圆，被积函数为 1/√(x²+y²)。由于区域和被积函数均具有圆对称性，采用极坐标变换：x = r cosθ, y = r sinθ，则 dxdy = r dr dθ，且 √(x²+y²) = r。
公式：$$\iint_D f(x,y) \, dxdy = \iint_{D'} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \, r \, drd\theta$$
提示：注意极坐标变换中dxdy = r dr dθ
步骤 2/3
目标：写出极坐标下的二重积分
被积函数变为 1/r，面积元为 r dr dθ，因此被积函数与面积元相乘得 (1/r)·r dr dθ = dr dθ。积分区域：r 从 0 到 1，θ 从 0 到 2π。积分化为 ∫_{θ=0}^{2π} ∫_{r=0}^{1} dr dθ。
公式：$$\iint_D \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \, dxdy = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{1} dr \, d\theta$$
提示：注意极坐标面积元为r dr dθ
步骤 3/3
目标：计算积分
先对 r 积分：∫_{0}^{1} dr = 1。再对 θ 积分：∫_{0}^{2π} 1 dθ = 2π。因此积分结果为 2π。
公式：$$\iint_D f(x,y) \, d\sigma = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \int_{r_1}^{r_2} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \, r \, dr \, d\theta$$
提示：注意极坐标变换中要乘以雅可比行列式r
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