2021年高数A(二)期末第六-2题
📝 题目
2．某工厂要做一个容积为 $2 m^{3}$ 的有盖长方体水箱，水箱的长、宽、高分别取多少，能使得用料最省。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：建立数学模型
设水箱的长为x米，宽为y米，高为z米，则容积为 xyz = 2。水箱有盖，表面积为 S = 2(xy + yz + zx)。问题转化为：在约束条件 xyz = 2 (x>0, y>0, z>0) 下，求 S 的最小值。
公式：$$S = 2(xy + yz + zx)$$
提示：注意有盖，表面积要算六个面
步骤 2/5
目标：构造拉格朗日函数
令拉格朗日函数 L(x,y,z,λ) = 2(xy + yz + zx) + λ(xyz - 2)。
公式：$$L(x,y,z,\lambda) = 2(xy + yz + zx) + \lambda(xyz - 2)$$
提示：注意表面积公式为2(xy+yz+zx)，容积约束为xyz=2。
步骤 3/5
目标：求偏导数并令为零
对x求偏导：∂L/∂x = 2(y+z) + λ yz = 0；对y求偏导：∂L/∂y = 2(x+z) + λ xz = 0；对z求偏导：∂L/∂z = 2(x+y) + λ xy = 0；对λ求偏导：∂L/∂λ = xyz - 2 = 0。
公式：$$\frac{\partial L}{\partial x} = 2(y+z) + \lambda yz = 0$$
提示：注意拉格朗日乘数法符号
步骤 4/5
目标：解方程组
由前三个方程可得：2(y+z) = -λ yz，2(x+z) = -λ xz，2(x+y) = -λ xy。将第一式除以第二式得 (y+z)/(x+z) = y/x，整理得 x(y+z) = y(x+z) ⇒ xy + xz = xy + yz ⇒ xz = yz ⇒ x = y。同理可得 y = z。因此 x = y = z。代入容积方程 x³ = 2，得 x = y = z = ∛2。
公式：$$\frac{y+z}{x+z} = \frac{y}{x}$$
提示：注意方程除法时分母不为零
步骤 5/5
目标：结论
当长、宽、高均为 ∛2 米时，表面积最小，用料最省。
提示：注意有盖长方体需考虑所有面
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