2022年高数A(二)期末第一-1题
📝 题目
1．下列哪个积分的值是正的？
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析选项A
计算 ∫_{-1}^{0} x^3 dx。x^3 是奇函数，在对称区间[-1,0]上积分，结果为负。具体计算：原函数为 x^4/4，代入得 0 - (1/4) = -1/4 < 0。
公式：$$\int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C$$
提示：奇函数在对称区间积分不一定为0，注意区间不对称。
步骤 2/5
目标：分析选项B
计算 ∫_{-1}^{1} sin x dx。sin x 是奇函数，在对称区间[-1,1]上积分为0。
公式：$$\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0 \quad \text{若 } f(x) \text{ 为奇函数}$$
提示：奇函数在对称区间积分为零
步骤 3/5
目标：分析选项C
计算 ∫_{-1}^{0} e^{-x} dx。被积函数 e^{-x} > 0，积分区间长度为正，因此积分值为正。具体计算：原函数为 -e^{-x}，代入得 -1 + e = e - 1 > 0。
公式：$$\int e^{-x} dx = -e^{-x} + C$$
提示：注意被积函数恒正时积分值为正。
步骤 4/5
目标：分析选项D
注意积分上下限：∫_{π/2}^{0} sin x dx = -∫_{0}^{π/2} sin x dx。在[0, π/2]上 sin x ≥ 0，所以 ∫_{0}^{π/2} sin x dx > 0，因此原积分为负。
公式：$$\int_{a}^{b} f(x) dx = -\int_{b}^{a} f(x) dx$$
提示：注意积分上下限交换会改变符号
步骤 5/5
目标：得出结论
只有选项C的积分值为正，故正确答案为C。
提示：注意积分区间内被积函数的正负
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