2022年高数A(二)期末第一-10题
📝 题目
10．假设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}$ ，那么二重积分 $\displaystyle{\iint_{D} f(x, y) d \sigma}$ 利用极坐标积分的表达式为
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定积分区域与坐标变换
积分区域 $D = \{(x, y) \mid x^2 + y^2 \leq 1\}$ 是单位圆盘。在极坐标下，令 $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$，其中 $r \geq 0$，$\theta \in [0, 2\pi)$。区域 $D$ 对应 $0 \leq r \leq 1$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。
公式：$$x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta$$
提示：注意极坐标变换时r≥0，θ范围[0,2π)
步骤 2/4
目标：写出面积元素变换
直角坐标下的面积元素 $d\sigma = dx\,dy$ 在极坐标下变换为 $d\sigma = r\,dr\,d\theta$。这是因为雅可比行列式的绝对值为 $r$。
公式：$$d\sigma = r\,dr\,d\theta$$
提示：注意雅可比行列式绝对值为r
步骤 3/4
目标：写出二重积分的极坐标表达式
将 $f(x, y)$ 用极坐标表示：$f(x, y) = f(r\cos\theta, r\sin\theta)$。代入积分限和面积元素，得到：
$$\iint_D f(x, y)\,d\sigma = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{1} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot r\,dr\,d\theta$$
公式：$$\iint_D f(x, y)\,d\sigma = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{1} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot r\,dr\,d\theta$$
提示：注意极坐标面积元素为r dr dθ
步骤 4/4
目标：匹配选项并得出答案
对比选项：
A：缺少 $r$ 和 $f$ 的自变量形式错误
B：缺少 $f$ 的自变量形式错误
C：缺少 $r$ 因子
D：形式完全正确：$\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{1} f(r\cos\theta, r\sin\theta) r\,dr$
因此正确答案为 D。
公式：$$\iint_D f(x,y) \, dxdy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 f(r\cos\theta, r\sin\theta) \, r \, dr$$
提示：极坐标变换时不要漏掉雅可比因子r
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